5. LA TEORÍA CUÁNTICA ANTIGUA
Introducción
El intento de resolver el problema de la inestabilidad del átomo de Rutherford llevó a Niels Bohr a formular en 1913 una teoría simple de la estructura atómica, uno de cuyos mayores méritos fue que permitió explicar el espectro de la radiación electromagnética emitida por ciertos átomos.
Dicha teoría fue luego perfeccionada por William Wilson, Jun Ishiwara, Planck, Arnold Sommerfeld y otros, y dio lugar a lo que hoy llamamos la Teoría Cuántica Antigua. Si bien esta teoría fue luego abandonada, cumplió en su momento un rol importante para el desarrollo de la Mecánica Cuántica moderna. Por este motivo daremos aquí una reseña de la misma. Pero antes
es necesario mencionar brevemente algunos aspectos sencillos del espectro atómico.
El espectro atómico
En contraste con el espectro continuo de la radiación térmica, la radiación electromagnética emitida por un átomo libre consiste de un conjunto discreto de longitudes de onda. Cada una de estas longitudes de onda recibe el nombre de línea, pues así es como aparece en las placas fotográficas obtenidas con los espectrógrafos. Cada especie atómica tiene su propio espectro, integrado
por un conjunto de líneas características. Este hecho tiene gran importancia práctica, pues permite identificar los elementos presentes en una fuente de luz. Por esta razón durante el siglo XIX se dedicó mucho esfuerzo a medir con precisión los espectros de los diferentes átomos. Tales espectros son muy complicados y generalmente constan de centenares de líneas.
El más sencillo de todos los espectros es el del átomo de hidrógeno, lo que no es sorprendente puesto que se trata del átomo más simple ya que tiene un solo electrón. Por este motivo, y también por razones históricas y teóricas, presenta mucho interés. el espectro del hidrógeno presenta una serie regular de líneas que comienza en el rojo y termina en el violeta; el espaciado entre líneas contiguas decrece paulatinamente hasta que se llega al límite de la serie, que se encuentra para 3645.6 Å. La regularidad de este espectro llevó a muchos a buscar fórmulas empíricas que representasen las longitudes de onda de las líneas. La fórmula correcta fue hallada en 1885 por Johann Jakob Balmer (un profesor de escuela secundaria) y es, expresada en términos del número de onda k)
5. La Teoría Cuántica Antigua
RH109677.5760.012cm−1 (5.2)
se denomina constante de Rydberg para el átomo de hidrógeno. Posteriormente, gracias al trabajo de varios espectroscopistas entre quienes tuvo un rol preponderante Johannes Rydberg (1890), se encontraron fórmulas semejantes para diferentes series,
La serie de Balmer (5.1) corresponde a m 2; la serie correspondiente a m 1 se encuentra en el ultravioleta y se denomina serie de Lyman. Las Correspondientes a m 3,4y5 se encuentran en el infrarrojo y se llaman serie de Paschen, Brackett y Pfund, respectivamente.
Las fórmulas para las series de los átomos alcalinos (sodio, potasio, rubidio, cesio, …) tienen la misma estructura general
los elementos dentro de un 0.05% y aumenta levemente al aumentar el peso atómico. Ligado con el espectro de emisión que estuvimos comentando, está el espectro de absorción, que se obtiene cuando se emplea una fuente luminosa que emite un espectro continuo y se interpone entre la fuente y el espectrógrafo un recipiente que contiene un vapor atómico. En este caso se encuentra que la placa está velada, salvo en algunas líneas que corresponden a las longitudes de onda que son absorbidas por los átomos del vapor. A cada línea del espectro de absorción le corresponde una línea del espectro de emisión. Pero la inversa no es cierta: no todas las líneas de emisión se observan en el espectro de absorción. Por ejemplo, en el espectro de absorción del
hidrógeno sólo aparecen normalmente las líneas de la serie de Lyman. Pero si el gas está a una temperatura muy elevada, como ocurre en algunas estrellas, en el espectro de absorción también se ven las líneas de la serie de Balmer.
Los postulados de Bohr
Toda teoría de la estructura atómica debe explicar estas características del espectro, así como muchas otras que no hemos comentado. La gran precisión de las medidas espectroscópicas impone además severos requerimientos sobre las predicciones teóricas.
Por otra parte, el espectro del hidrógeno es completamente inexplicable en términos clásicos, del mismo modo que son inexplicables otros aspectos del átomo tales como su tamaño, la existencia del núcleo y su estabilidad, como hemos visto en el Capítulo 3. El gran mérito de Bohr reside en que reconoció la necesidad de abandonar la Física Clásica, y en consecuencia tuvo la audacia de proponer que varias leyes de la Mecánica y del Electromagnetismo no se cumplen en la escala atómica. De esta forma consiguió dar un paso de fundamental importancia, que indicó la dirección en que había que avanzar para superar el punto muerto al cual había llegado la Física Teórica.
La teoría de Bohr tiene gran sencillez matemática y concuerda cuantitativamente con los datos espectroscópicos del hidrógeno. Sin embargo, los postulados sobre los cuales se basa parecen artificiosos. Son los siguientes:
Postulados de Bohr:
El electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influencia de la atracción Coulombiana de éste, obedeciendo las leyes de la mecánica clásica.
Dentro de las infinitas órbitas clásicas, el electrón se mueve sólo en aquellas en las que el momento angular orbital L tiene los valores Lnhnh/ 2, donde n1,2,3,.
Cuando el electrón se mueve en una órbita permitida, no irradia energía electromagnética a pesar de ser acelerado constantemente y por lo tanto su energía total E permanece constante.
Un electrón que se mueve inicialmente en una órbita de energía Ei puede cambiar discontinuamente su movimiento y pasar a moverse en otra órbita de energía Ef ; cuando
esto ocurre se emite un fotón cuya frecuencia es (Ei −Ef)/h.
Se debe notar la diferencia entre la cuantificación de Bohr del momento angular y la cuantificación de Planck, que se refiere a la energía total de una partícula (por ejemplo un electrón que realiza oscilaciones armónicas simples). Veremos que la cuantificación del momento angular implica también la cuantificación de la energía total, pero de una forma diferente a la de Planck. El tercer postulado resuelve manu militari el problema de la estabilidad debido a la radiación del
electrón acelerado, mediante el simple expediente de postular que esta característica de la teoría clásica no vale para el electrón cuando se mueve en una órbita permitida. Este postulado se basa en la observación experimental de que los átomos son estables, a pesar que la teoría clásica predice
lo contrario. El cuarto postulado está ligado al postulado de Einstein sobre la energía de un fotón (ec. (4.41)).
Se puede observar que los postulados de Bohr mezclan de manera arbitraria la física clásica con la no clásica, y en tal sentido son intelectualmente insatisfactorios. Por ejemplo, se supone que el electrón se mueve según las leyes de la mecánica clásica, y al mismo tiempo se afirma que su
momento angular está cuantificado; se supone que el electrón obedece la ley de Coulomb, pero acto seguido se lo exime de cumplir la regla que toda carga acelerada irradia.
Sin embargo, se puede argumentar que no nos debemos sorprender si las leyes de la física clásica (basadas en nuestra experiencia con sistemas macroscópicos) no son completamente válidas cuando tratamos con un sistema microscópico como el átomo. En última instancia, la justificación
de los postulados de Bohr (y de cualquier postulado, en realidad) reside en si describen correctamente los resultados experimentales, o no.
Ese fue el gran triunfo de la teoría de Bohr, muy notable porque cuando fue formulada aún no se conocían las series de Lyman, Brackett y Pfund.
Estas series fueron p redichas por la teoría y llevanel nombre de quienes fueron los primeros en observarlas. La teoría también funcionó bien en el caso del átomo con Z 2 y un electrón (helio ionizado una vez).
Asimismo, las propiedades del espectro de absorción se pueden entender por medio de la teoría de Bohr. Puesto que el electrón sólo puede estar en uno de los estados permitidos, puede absorber únicamente cantidades de energía iguales a las diferencias de energía entre los estados permitidos. La absorción es el proceso inverso de la emisión y por lo tanto las longitudes de onda absorbidas son iguales a las de las líneas emitidas. Normalmente el átomo que absorbe está en el estado fundamental; por eso generalmente en el espectro
de absorción del átomo de hidrógeno se observan sólo las líneas de la serie de Lyman. Pero si el gas está a una temperatura muy alta, parte de los átomos
pueden estar en el primer estado excitado con n 2 , y en tal caso se observan también las líneas de absorción de la serie de Balmer. La temperatura necesaria se puede estimar a partir de la distribución de Boltzmann, y es fácil ver que debe ser del orden de los 105 ˚K.
El espectro de líneas de rayos X
Es oportuno mencionar aquí las investigaciones de Henry G. J. Moseley sobre las líneas espectrales de rayos X de elementos pesados, que influyeron sobre la teoría que estamos presentando ya que Bohr se mantuvo al corriente de las mismas. Moseley se basó en los trabajos de Barkla, y para medir las longitudes de onda de los rayos X utilizó las técnicas de difracción sobre cristales desarrolladas por Sir Lawrence Bragg y su hijo William. Comparando los rayos X emitidos por diferentes elementos, encontró que tienen frecuencias características que varían de acuerdo con un patrón regular. Sin embargo, la diferencia de frecuencia no está gobernada por la diferencia de masa entre los elementos, sino por la diferencia entre las cargas eléctricas de sus núcleos, es
decir, las diferencias entre los respectivos números atómicos. Sin entrar en mayores detalles, podemos decir que el espectro de línea de rayos X se debe a transiciones de los electrones más internos de un átomo. Para ellos, la carga nuclear no está apantallada por los demás electrones (que se mueven en órbitas de radio mayor), por lo tanto se puede aplicar la fórmula (5.17) que obtuvimos en la Sección precedente. En la terminología de rayos X, los niveles de energía correspondientes a n1,2,3,se denominan K, L, M, … En su primer experimento de 1913, Moseley estudió los rayos X de la serie K (asociada con las transiciones al nivel de energía K) para los elementos hasta el Zn y el año siguiente extendió sus investigaciones hasta el Au, usando las líneas de la serie L (transiciones al nivel L). Las fórmulas que obtuvo para las frecuencias se relacionan muy estrechamente con las fórmulas de Bohr para átomos con un solo electrón, y muestran que las frecuencias son proporcionales a Z2. Así, las series K y L son análogas a las series de Lyman y de Balmer del átomo de hidrógeno. La regularidad de las diferencias en las frecuencias del espectro de rayos X permitió a Moseley ordenar por número atómico todos los elementos desde el Al hasta el Au. Pudo observar así que en algunos casos el orden dado por los pesos atómicos es incorrecto. Por ejemplo, el peso atómico
del Co es mayor que el del Ni, pero sus números atómicos son 27 y 28, respectivamente. Cuando Mendeleyev construyó su Tabla Periódica se tuvo que basar en los pesos atómicos, pero colocó al Cu y el Ni en el orden inverso (es decir, el orden correcto de acuerdo con Z) para que
sus propiedades químicas encajaran mejor.
En algunos lugares de la Tabla Periódica, Moseley encontró diferencias en Z mayores que la unidad, y predijo correctamente la existencia de elementos aún no descubiertos. Puesto que hay un único elemento para cada Z, los científicos pudieron finalmente confiar en la completitud de la Tabla Periódica.
Refinamientos del modelo de Bohr
Mencionaremos brevemente varias correcciones y perfeccionamientos del modelo de Bohr. Corrección por masa nuclear finita El hecho que el núcleo tiene una masa finita se puede tener en cuenta fácilmente si en todas las
ecuaciones de la Sección anterior en lugar de la masa del electrón se emplea la masa reducida del sistema electrón-núcleo,
La teoría de Wilson-Sommerfeld El acierto de la teoría de Bohr acentuó el carácter misterioso de sus postulados básicos, uno de los cuales es la relación entre la cuantificación de Bohr del momento angular y la cuantificación
de Planck de la energía total de un oscilador armónico simple. Este asunto se aclaró en 1916 cuando Wilson y Sommerfeld enunciaron una regla de cuantificación para cualquier sistema cuyas coordenadas varían periódicamente con el tiempo. Esta regla permitió ampliar el dominio
de aplicación de la teoría cuántica e incluye como casos particulares las cuantificaciones de Planck y Bohr. Usando la (5.31) en la (5.30) obtenemos finalmente Enh(5.33) que es precisamente la condición de cuantificación de Planck.
Órbitas elípticas y la teoría relativística de Sommerfeld
Si quitamos la restricción que el movimiento del electrón sea circular, tenemos que aplicar las condiciones (5.25) no sólo al movimiento azimutal, sino también al movimiento radial.
Se puede ver que (salvo por la sustitución →me) la primera de estas ecuaciones es idéntica a la (5.11), que da el radio de las órbitas circulares de Bohr; la segunda muestra que la forma de las órbitas depende del cociente n/n y la tercera equivale a la (5.16). Por lo tanto para cada valor del número cuántico principal hay n diferentes órbitas permitidas, que difieren por el valor
del número cuántico azimutal. Una de ellas, la que corresponde a nn, es la órbita circular de Bohr y las otras son elípticas. Todas esas n órbitas tienen el mismo valor de la energía, pues E depende sólo del número cuántico principal. Esta circunstancia se expresa diciendo que el correspondiente nivel de energía está degenerado. La degeneración de los niveles de energía correspondientes a las órbitas con el mismo n y diferente nes consecuencia de que la fuerza de Coulomb depende de la inversa del cuadrado de la distancia, y de que tratamos el problema como no relativístico. Por eso esta degeneración se suele denominar "accidental". Si se calculan las correcciones relativísticas, cosa que hizo Sommerfeld, la degeneración se rompe y los niveles de energía del mismo n pero diferentes nse separan, dando lugar a lo que se llama la estructura fina del espectro del hidrógeno. Fig. 5.4. Estructura fina de algunos niveles del átomo de hidrógeno. Se ha exagerado la separación para hacerla visible. Las flechas de trazos indican transiciones que no se observan.
Vemos entonces que la separación de los niveles degenerados es proporcional a 2 . Ese es el motivo por el cual recibió el nombre de constante de la estructura fina, aunque como veremos más adelante su significado es mucho más general. En la Fig. 5.4 se ve la estructura fina de los primeros niveles del átomo de hidrógeno. Las flechas indican las transiciones que producen las
líneas espectrales. Las que se observan en el espectro están indicadas con líneas llenas, y con líneas punteadas se indican transiciones que no se observan experimentalmente. Los números de onda de las líneas, calculadas a partir de la (5.42), concuerdan muy bien con los observados.
El experimento de Franck y Hertz
La confirmación directa que los estados de energía del átomo están cuantificados provino de un sencillo experimento realizado en 1914 por James Franck y Gustav Hertz. En este experimento (Fig. 5.5a) un cátodo caliente C emite electrones que son acelerados hacia un ánodo A en forma
de grilla por una diferencia de potencial V, y pasan a través de él para ser recogidos por una placa colectora P, que está a un potencial VPV−Vr. El dispositivo contiene el gas o vapor de los átomos que se quiere investigar, a baja presión. El experimento consiste en determinar la corriente
I debida a los electrones recogidos por la placa como función de V.
El primer experimento se realizó con vapor de Hg, y los resultados se muestran en la Fig. 5.5b. Se observa que para V pequeño, I aumenta con V, pero cuando se llega a 4.9 V la corriente cae abruptamente. Esto indica que cuando alcanzan una energía cinética de 4.9 eV, los electrones comienzan bruscamente a interactuar con los átomos de Hg, y una fracción importante de ellos pierde toda su energía cinética al excitar los átomos. Si V es apenas mayor que 4.9 V, este proceso de interacción ocurre justo delante de A y los electrones que han perdido su energía cinética ya no la pueden recuperar en el resto de su viaje hacia el ánodo; por lo tanto son rechazados por
el potencial de frenamiento Vr y no llegan a la placa. La caída abrupta de I cuando V 4 9. V indica que los electrones de menos de 4.9 eV no pueden transferir su energía a los átomos de Hg. De esto se concluye que los niveles de energía del átomo de Hg están cuantificados, y que 4.9 eV es la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado.
Si esta conclusión es correcta, debe existir en el espectro de emisión del Hg una línea que corresponde a la transición del primer estado excitado al estado fundamental, con una frecuencia dada por (4.9 eV)/h, lo que corresponde a una longitud de onda de 2536 Å. Eso fue lo que observaron Franck y Hertz, quienes comprobaron que mientras V 4.9eV el vapor de Hg no emite ninguna
línea espectral, pero cuando el potencial es ligeramente mayor el espectro muestra una única línea de emisión de 2536 Å. El experimento de Franck y Hertz es una clara prueba que los estados de energía del átomo de Hg están cuantificados, y permite medir directamente las diferencias de energía entre los estados cuánticos. Si se extiende el estudio a diferencias de potencial mayores aparecen, en efecto, otras bruscas caídas de la corriente. Algunas de éstas se
deben a que si V es suficientemente grande, en su recorrido de C a A los electrones pueden excitar dos o más veces el nivel de 4.9 eV, pero otras caídas se deben a la excitación de estados diferentes. A partir de los
valores de V correspondientes a estas caídas se pueden determinar las diferencias de energía entre esos estados y el estado fundamental. Otra manera de determinar experimentalmente el esquema de niveles de un átomo es medir su espectro, para construir un conjunto de niveles compatible con el mismo. Esto no es fácil en la práctica, puesto que el espectro, y por lo tanto el esquema de niveles, suele ser muy complicado. Por otra parte, el método espectroscópico tiene la virtud de ser muy preciso. Toda vez que las diferencias de energía entre estados atómicos se determinaron por ambos
métodos, el espectroscópico y el de Franck y Hertz, los resultados fueron coincidentes. Por encima del estado discreto más alto, es decir para E ≥0, están los estados de energía que consisten de un electrón no ligado y un átomo ionizado. La energía del electrón libre no está cuantificada, por lo tanto los estados del electrón con E ≥0 forman un continuo. Es posible excitar
el átomo desde el estado fundamental hasta un estado del continuo, si se suministra a un electrón una energía mayor que la energía de ionización, que para el átomo de Hg es de 10.4 eV (13.6 eV para el átomo de hidrógeno). También es posible el proceso inverso, esto es que un átomo ionizado capture un electrón libre en uno de los estados ligados del átomo neutro. En este
proceso se emite radiación de una frecuencia mayor que la que corresponde al límite de la serie correspondiente al nivel en cuestión. El valor exacto de la frecuencia depende de la energía inicial E ≥0 del electrón libre, y puesto que E puede tener cualquier valor, el espectro tiene una parte continua más allá del límite de la serie. Esto se puede observar en el caso del Hg, aunque
con dificultad.
Crítica de la Teoría Cuántica Antigua
Hemos visto en este Capítulo que la teoría de Bohr y su extensión por Wilson y Sommerfeld, que constituyen la Teoría Cuántica Antigua, tuvieron importantes éxitos. Sin embargo debemos señalar las siguientes limitaciones y defectos:
La teoría se aplica solamente a sistemas periódicos en el tiempo, lo que excluye muchos sistemas físicos.
Permite calcular las energías de los estados permitidos y las frecuencias de la radiación emitida o absorbida en las transiciones entre esos estados, pero no predice el tiempo característico involucrado en una transición.
Sólo se aplica a los átomos con un electrón, y aquellos que tienen muchos aspectos en común con los átomos de un electrón (como los metales alcalinos), pero falla si se la intenta aplicar al átomo de helio, que tiene dos electrones.
Por último, la teoría no es intelectualmente satisfactoria, pues se mezclan en ella de forma arbitraria aspectos clásicos con aspectos cuánticos.
Puesto que algunas de estas objeciones son de carácter fundamental, los físicos de la época se esforzaron por desarrollar una nueva teoría cuántica que no padeciera estas limitaciones ni fuera pasible de objeciones. Este esfuerzo logró el objetivo cuando Werner Heisenberg en 1924 (y luego Max Born y Pascual Jordan) propuso su dinámica de matrices y Erwin Schrödinger en
1925, apoyándose en una idea propuesta en 1924 por Louis-Victor de Broglie, desarrolló la mecánica ondulatoria. Pese a que su forma es muy distinta, las teorías de Heisenberg de Schrödinger son completamente equivalentes y su contenido es idéntico, como fue demostrado por Schrödinger. El planteo axiomático de la Mecánica Cuántica se completó poco después por medio de la teoría de las transformaciones de Paul A. M. Dirac y Pascual Jordan. Pero de eso nos ocuparemos en los próximos capítulos.
6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA
El postulado de Broglie
El desarrollo de la Mecánica Cuántica comenzó con una idea muy simple pero revolucionaria que fue expuesta en 1924 por Louis-Victor de Broglie en su Tesis Doctoral. Inspirado por el comportamiento dual onda-corpúsculo de la radiación, de Broglie especuló sobre la posibilidad que también la materia tuviera un comportamiento dual, esto es que las entidades físicas que consideramos como partículas (electrones, átomos, bolas de billar, etc.) pudieran en determinadas circunstancias manifestar propiedades ondulatorias.
Hemos visto que la naturaleza corpuscular de la radiación electromagnética se pone en evidencia cuando se estudia su interacción con la materia (emisión y absorción, efecto fotoeléctrico, efecto Compton, creación y aniquilación de pares, etc.). Por otra parte, su naturaleza ondulatoria se manifiesta por la forma con que se propaga, dando lugar a los fenómenos de interferencia y difracción. Esta situación se puede describir diciendo que la radiación electromagnética
es una onda que al interactuar con la materia manifiesta un comportamiento
corpuscular. Con igual derecho podemos también decir que consta de partículas (los fotones) cuyo movimiento está determinado por las propiedades de propagación de ciertas ondas que les están asociadas. En realidad ambos puntos de vista son aceptables. Pensando en términos de la segunda alternativa y razonando por analogía, de Broglie exploró la idea que el movimiento de una partícula está gobernado por la propagación de ciertas ondas piloto asociadas con ella. Ciertamente, es muy sugestivo el hecho que la constante de Planck juegue un rol crucial, tanto para el comportamiento de los electrones del átomo (como lo muestra claramente el éxito de la teoría de Bohr) como para la interacción de la radiación con la materia.
En el caso de la radiación, h está vinculado con los aspectos corpusculares de la misma. No es absurdo entonces especular sobre la posibilidad que en el caso de una partícula como el electrón, h esté relacionado con alguna clase de comportamiento ondulatorio. Cuando de Broglie publicó su trabajo aún no se habían observado comportamientos ondulatorios asociados con el movimiento de una partícula, aunque el tema había sido investigado en varias ocasiones. Pero esta falta de evidencia no es excluyente, pues si en esas ocasiones la
longitud de onda de las ondas piloto hubiese sido muy corta no hubiera sido posible observar los aspectos ondulatorios. Esta situación se da también en la Óptica, donde para observar interferencia o difracción es preciso que las diferencias de caminos ópticos sean del orden de la longitud de onda de la luz empleada. Cuando esto no ocurre, la propagación de la luz se puede describir adecuadamente mediante la óptica geométrica, que es en esencia una teoría corpuscular. Para determinar la longitud de onda de las ondas piloto, de Broglie procedió por analogía a lo que se hace con la radiación electromagnética, considerada como un conjunto de fotones. De acuerdo con la ecuación de Einstein, la frecuencia de un fotón de energía E es E/h (6.1)
7. LA TEORÍA DE SCHRÖDINGER
Introducción
El trabajo de Broglie llamó la atención de Einstein, quien lo consideró muy importante y lo difundió entre los físicos. Inspirado en las ideas allí expuestas, Erwin Schrödinger desarrolló entre 1925 y 1926 su teoría de la mecánica ondulatoria, que es una de las maneras en que se presenta la Mecánica Cuántica. Corresponde mencionar que casi simultáneamente, Werner Heisenberg desarrolló un enfoque alternativo: la mecánica matricial. En la teoría de Heisenberg no se consideran ondas piloto; en su lugar se manejan las variables dinámicas como x, px , etc., que se representan mediante matrices. Los aspectos cuánticos se introducen en dicha teoría por medio del principio de incerteza, que se expresa por medio de las propiedades de conmutación de las matrices.El principio de incerteza es en realidad equivalente al postulado de Broglie, y las teorías de Heisenberg y de Schrödinger son idénticas en contenido aunque de forma aparentemente muy distinta. Pero esto no fue comprendido en seguida, y en un primer momento hubo ácidas polémicas
entre los sostenedores de una y otra, hasta que Schrödinger en 1928 demostró la equivalencia de ambas. Debido a que la teoría de Schrödinger se presta mejor para un tratamiento introductoria no entraremos en los detalles de la teoría de Heisenberg1.
La ecuación de Schrödinger
Aunque el postulado de Broglie es correcto, no es todavía una teoría completa del comportamiento de una partícula, pues no se conoce la ecuación que rige la propagación de la onda piloto. Por eso pudimos analizar la propagación de la onda piloto únicamente en el caso de una partícula libre y no sabemos aún como tratar una partícula sometida a fuerzas. Falta, además, una relación
cuantitativa entre la onda y la partícula, que nos diga de qué forma la onda determina la probabilidad de observar la partícula en un determinado lugar.
Pese a que el postulado de Broglie es consistente con la relatividad restringida), Schrödinger se limitó a desarrollar una teoría no relativística2. Además abandonó el término "onda piloto" y llamó función de onda a la función (x,t) y a la onda en sí; nosotros usaremos esa terminología de ahora en más.
Propiedades matemáticas de operadores lineales en espacios funcionales
Como acabamos de ver, en la Mecánica Cuántica las variables dinámicas se representan por medio de operadores. Por lo tanto conviene repasar algunas propiedades de los operadores, que vamos a presentar sin pretensión de rigor matemático. Al calcular la norma de la función de onda y los valores esperados de variables dinámicas nos encontramos con expresiones del tipo que se suelen llamar producto interno o producto escalar de las funciones con el producto escalar ordinario de dos vectores. La integral se efectúa sobre el dominio D de las variables de que dependen las funciones. Por ejemplo, en las (7.45), (7.48) la variable de integración es x y la integral va de –∞ a +∞; en tres dimensiones podríamos tener ddxdydz o bien dr2sendrdd(en este caso la integral sobre r va de 0 a ∞, la integral sobre va de 0 a y la integral sobre va de 0 a 2), u otras expresiones según el sistema de coordenadas usado. Para tener expresiones compactas usaremos la notación (,) para indicar el producto escalar. Daremos por sobreentendido que las funciones ,,,ϕ,etc. son de cuadrado integrable y satisfacen oportunas condiciones en el contorno de D, y por ahora supondremos que el dominio D de integración en (7.52) es finito. Más adelante veremos como proceder cuando D es infinito.
Producto escalar, norma y ortogonalidad El producto escalar o producto interno (,) de dos funciones y (en este orden) es un número complejo y se cumple que (,)(,)* , (,abϕ) a(,)b(,ϕ) (7.50) donde a, b son dos números complejos cualesquiera. La norma N de una función de define como N ≡(,) (7.51) La norma es siempre real y positiva, salvo para la función nula 0 para la cual N 0. Una función se dice normalizada cuando su norma es 1:
(,) 1 (7.52)
Dos funciones y se dicen ortogonales cuando su producto escalar es nulo:
(,) 0 (7.53)
11. EL SPIN
El momento angular intrínseco
Hasta aquí nos ocupamos de la descripción cuántica de una partícula, considerada como una masa puntiforme sin estructura interna. En consecuencia supusimos que el estado de la misma se puede especificar por completo mediante la función de onda , que es una función escalar de
las variables espaciales x, y, z y del tiempo. Es ciertamente notable que esta imagen tan simple permite explicar muchos aspectos de la física del átomo y del núcleo. Sin embargo, estos logros no nos deben hacer perder de vista que este modelo sólo explica los aspectos más gruesos del átomo y del núcleo. Muchos detalles se pudieron entender recién a partir del descubrimiento que muchas partículas, incluyendo electrones, protones y neutrones no están completamente descriptas por el modelo de masa puntiforme sin estructura1. En otras palabras, el estado de esas partículas no está especificado por completo por una función escalar de las coordenadas y del tiempo. En efecto, la evidencia empírica muestra que es necesario atribuir a esas partículas un momento angular intrínseco o spin, y asociado con él, un momento magnético intrínseco.
La evidencia espectroscópica
Mencionaremos primero la evidencia espectroscópica acerca del spin y del momento magnético intrínseco, dado que fue a partir de ella que se introdujeron esos atributos del electrón. La expresión que obtuvimos para los niveles de energía del átomo de hidrógeno (ec. (10.127)) no explica por completo el espectro observado, por cuanto muchas de las líneas muestran desdoblamientos en varias componentes, dando lugar a una estructura fina de los niveles de energía que no se puede explicar mediante la teoría que desarrollamos en el Capítulo 10. En 1916, en el marco de la Teoría Cuántica Antigua, Sommerfeld dio una explicación aparentemente satisfactoria de la estructura fina (ver el Capítulo 5), basada sobre las correcciones relativísticas, en virtud de las cuales la energía de los niveles (que en el caso no relativístico depende sólo del número cuántico principal) pasa a depender también del número cuántico azimutal. La separación de los niveles así obtenida coincide con la que se observa en el hidrógeno y el helio ionizado y también con la que se observa en las líneas de rayos X de los átomos pesados. Por ese motivo la explicación de Sommerfeld fue aceptada durante varios años. Sin embargo, poco antes del desarrollo de la Mecánica Cuántica, aparecieron problemas con la teoría de Sommerfeld, en relación con el espectro de los átomos alcalinos. El estado fundamental de un átomo alcalino tiene una estructura electrónica muy simple, y su espectro óptico se puede interpretar suponiendo que el átomo consiste esencialmente de un ion inerte alrededor del cual se mueve el único electrón de valencia. Por lo tanto se comporta básicamente como un átomo de
hidrógeno, con la salvedad que el potencial en el que se mueve el electrón de valencia no es Coulombiano, pues la carga del núcleo está apantallada por los electrones del ion. Entonces, aún sin tener en cuenta el efecto relativístico (que en este caso se puede despreciar), la energía de los niveles depende del número cuántico azimutal.
ALUMNO: LUIS A. ARAQUE D.
ASIGNATURA: EES
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