El límite del oscilador cuántico a la partícula libre

G.S. Pogosyan, L.E. Vicenty K.B. Wolf

Centro de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 48-3, 62251 Cuernavaca, Morelos

Recibido el 15 de octubre de 2004; aceptado el 26 de enero de 2005

Cuando permitimos que la constante de Hooke de un oscilador armónico tienda a cero, el sistema se vuelve libre. Examinamos este límite en el contexto de la mecanica cuantica, donde los valores cuantizados de la energía se acumulan en un continuo y donde las funciones de Hermite se vuelven ondas planas.

Descriptores: Oscilador armonico; límites regulaes; ondas planas.

When we let the Hooke constant of a harmonic oscillator tend to zero, the system becomes free. We examine this limit in the context of quantum mechanics, where the quantized energy values accumulate to a continuum, and where the Hermite functions become plane waves.

Keywords: Harmonic oscillator; regular limits; plane waves. PACS: 02.30.Mv; 03.65.Db

1. Introducción: los sistemas clásicos

El oscilador armónico clásico es un sistema mecánico cuya fuerza de restitucion —nq es proporcional, por la constante de Hooke n, a la separacion q entre el punto masa i y el cen­tro del oscilador. Su energía es

y su valor oscila en el tiempo entre el sumando cinetico (proporcional a p²) y el sumando potencial (proporcional a q²); pero su suma, la energía total (1), es constante. El movimiento de su posicion q(t) (así como su momento p(t)=¡idq(t)/dt) es armonico, es decir, su trayectoria es una sinusoide:

donde el punto de retorno q_max y la fase 4> estan determinadas por las condiciones iniciales.

Cuando la fuerza de restitucion de un oscilador se debili­ta hasta desaparecer (es decir, su constante de Hooke tiende a cero, n — 0), el sistema se convierte en una partícula libre, cuya energía es toda cinetica,

En este artículo consideraremos el sion de osciladores, etiquetados por yos parametros de Hooke son nj límite de una suce- j £ {1,2,...}, cu­, de modo que línij^oo nj = 0. Las trayectorias q^(j) (t) formaran una suce­sion correspondiente de sinusoides cuyas amplitudes y períodos (uj^(j))^-1 en (2) crecen proporcionales a j^1/2 — oo.

El límite de estas trayectorias —en mecanica clasica— son líneas rectas.

En mecanica cuantica unidimensional, un potencial no-singular cuya contraparte clasica mantenga a las partículas en un intervalo finito (compacto), gozara de un espectro dis­creto y no-degenerado —y el del oscilador armonico ademas es igualmente espaciado. Entretanto, la partícula cuantica li­bre despliega un continuo de energías (cero y positivas); para cada valor (excepto cero), las funciones seno y coseno son las dos soluciones degeneradas en energía y distinguidas por su paridad [1]. Para examinar el proceso de límite de una su­cesion de osciladores cuanticos al sistema libre debemos re­emplazar el argumento somero del caso clasico anterior, por una observacion mas cuidadosa de como las energías discre­tas de los osciladores tienden a un continuo, y de como las funciones de onda de Hermite limitan a las funciones trigo­nometricas.

El límite libre del oscilador armonico y otros límites si­milares, aunque aparecen como formulas entre funciones es­peciales en tablas [2], no hemos encontrado mencion de es­te caso concreto en los textos de mecanica cuantica. Aquí, nuestro proposito es analizar la contraccion que sufren siste­mas cuanticos que denominaremos "discretos o compactos" a límites "continuos o no-compactos" mediante este ejemplo distinguido. En la Sec. 2 recordaremos los sistemas cuanticos correspondientes; las tacticas para probar el límite serán ex­puestas en la Sec. 3 y aplicadas en la Sec. 4. Comentaremos el contexto de esta en otras contracciones analogas en la Sec. 5.

⁽³⁾ 2. Ecuaciones, energías y funciones de onda

La ecuacion de Schrodinger del oscilador armonico cuantico, sus soluciones ^_n{q,uj) de cuadrado integrable y valores propios de la energía, son bien conocidos [1]:

(4)

La posicioÍ n q tiene unidades de distancia y las funciones de onda normalizadas [vease abajo (8)] tienen unidades de raíz de distancia inversa. Definimos la variable y funciones de on­da sin dimensiones

que resuelven la Ec. (4) en teÍrminos de una funcioÍn gaussiana decreciente y polinomios de Hermite H_n(x). Ellas son

y la normalizacioÍn (sin unidades) es tal que

El limite cuando la constante de Hooke se ha hecho cero, el sistema es libre, y las funciones de onda del sistema obedecen la ecuación de Schodinger de este sistema,

Las soluciones de la parida por son las funciones senos y cosenos, cuya normalización se hace de manera que su integral sebre q no tenga unidades como se 6 y 8 esto se logra redefiniendo

Donde es conveniente usar parámetro p de momento, y las funciones trigonométricas

La normalización de estas funciones es en el sentido Dirac,

y tiene unidades de distancia, la cual se puede comparar con (8). (Las normalizaciones de Dirac deben probarse con cuidado, integrando ambos miembros de la ecuacioÍ n anterior en compañía con funciones suaves de decrecimiento rapido, con un intercambio cuidadoso de integrales [3]).

3. Expresiones apropiadas para el límite

Analizaremos primero las energÍías de una secuencia de osci­ladores cuyas constantes de Hooke {nj}^o=₁ tienden a cero. SeraÍ maÍs conveniente usar las frecuencias

en terminos de las cuales los niveles de energía E_n (jj) es-taraÍn dados por (5); eÍstos son igualmente espaciados, con una separacion constante huj, decreciente con j, y un ni­vel base (l/2)hjjj — 0 al cual colapsaran todos los esta­dos con n finita. Cuando escogemos y fijamos una energía finita positiva para la partícula libre, F_v = hv en (9), una se­cuencia de osciladores j n en niveles n crecientes que tienden asintoÍ ticamente a esa energÍía es

Por ello, la secuencia que escogemos consistiraÍ de nive­les n cada vez maÍs altos, en osciladores cada vez maÍs an­chos: jj_n ~ v/n. En consecuencia, adoptaremos la secuen­cia jj_n = v/n (n > 1), porque es la mas sencilla de tratar analÍíticamente.

Escogimos la base de funciones seno y coseno en (11) porque tienen paridad definida, 4>p (—q)=a 4>p (q), asÍí como la tienen las funciones de Hermite en (7), i(j_n(—x) = (—\)ⁿ^_n(x), en cada oscilador en la secuencia. SerÍía erroÍ neo escoger, por ejemplo, las ondas viajeras

pues la secuencia no convergerÍía a ellas. Similarmente, cier­tas formas funcionales son maÍs apropiadas que otras para evi­denciar el límite que nos ocupa. En la funcion de onda (7), el factor gaussiano e^{-x /2} = exp(-MJJ_nq²/2h) tiene clara­mente el límite 1 cuando n — oo, pero el límite n — o de los polinomios de Hermite H_n(x) no aparece bien defi­nido. El meÍtodo de anaÍlisis que ofrecemos en este artÍículo consiste en reescribir los polinomios de Hermite como se­ries hipergeometricas confluentes, o funciones de Kummer \F\(a] b; z) = M(a' b z) [4], cuyas propiedades asintoticas se prestan oÍptimamente para este propoÍsito. Sus expresiones son [4]:

Agradecimientos

Es un gusto agradecer comentarios de Natig M. Atakishiyev (Instituto de Matem´aticas, UNAM/Cuernavaca) y de Jamil Daboul (Departamento de F´ısica, Universidad Ben Gurion, Beer Sheva), dando fe del apoyo de la DGAPA–UNAM al proyecto PAPIIT 102603 O´ ptica Matema´tica, as´ı como la beca de posgrado de L.E.V. contenida en el proyecto SEP–CONACYT 44845 del mismo nombre.

Obtenido de: http://rmf.fciencias.unam.mx/pdf/rmf-e/51/1/51_1_018.pdf

Tirso Ramírez

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Partículas idénticas

Las partículas idénticas son partículas que no pueden ser distinguidas entre sí, incluso en principio. Tanto las partículas elementales como partículas microscópicas compuestas (como protones o átomos) son idénticas a otras partículas de su misma especie.

En física clásica, es posible distinguir partículas individuales en un sistema, incluso si tienen las mismas propiedades mecánicas. O bien se puede etiquetar o "pintar" cada partícula para distinguirla de las demás, o bien se puede seguir con detalle sus trayectorias. Sin embargo, esto no es posible para partículas idénticas en mecánica cuántica. Las partículas cuánticas están especificadas exactamente por sus estados mecanocuánticos, de forma que no es posible asignarles propiedades físicas o etiquetas adicionales, más allá de un nivel formal. Seguir la trayectoria de cada partícula también es imposible, ya que su posición y su momento no están definidas con exactitud simultáneamente en ningún momento.

Esto tiene consecuencias importantes en mecánica estadística. Los cálculos en mecánica estadística se basan en argumentos probabilísticos, que son sensibles a si los objetos estudiados son idénticos o no. Así pues, las partículas idénticas exhiben un comportamiento estadístico "masivo" marcadamente distinto del de las partículas clásicas (distinguibles). Esto se desarrolla abajo.

Partículas idénticas y energía de intercambio

Es posible elucidar estas afirmaciones con algo de detalle técnico. La "identidad" de las partículas está ligada a la simetría de los estados mecanocuánticos tras el intercambio de las etiquetas de las partículas. Esto da lugar a dos tipos de partículas que se comportan de diferente forma, llamadas fermiones y bosones. (también hay un tercer tipo, anyones y su generalización, plektones). Lo que sigue se deriva del formalismo desarrollado en el artículo formulación matemática de la mecánica cuántica.

Si se considera un sistema con dos partículas idénticas, se puede suponer que el vector de estado de una partícula es |ψ>, y el vector de estado de la otra partícula es |ψ′>. Se puede representar el estado del sistema combinado, que es una combinación no especificada de los estados de una partícula, como:

Si las partículas son idénticas, entonces (i) sus vectores de estados ocupan espacios de Hilbert matemáticamente idénticos, y (ii) |ψψ′> y |ψ′ ψ> han de tener la misma probabilidad de colapsar a cualquier otro estado multipartícula |φ>:

Esta propiedad se llama simetría de intercambio. Una forma de satisfacer esta simetría es que la permutación sólo induzca una fase:

Sin embargo, dos permutaciones han de conducir a la identidad (puesto que las etiquetas han vuelto a sus posiciones originales), luego se requiere que e2iα = 1. Entonces, o bien

que se llama un estado totalmente simétrico, o

que se llama estado totalmente antisimétrico.

Fermiones, bosones, anyones y plektones

En la discusión precedente, no se ha demostrado que los estados totalmente simétricos o antisimétricos sean la única forma posible de satisfacer la simetría de intercambio. Sin embargo, es un hecho contrastado empíricamente que las partículas encontradas en la naturaleza tienen estados cuánticos que son totalmente simétricos o totalmente antisimétricos, con excepciones menores que se discuten más adelante. Por ejemplo, los fotones siempre forman estados totalmente simétricos, y los electrones siempre forman estados totalmente antisimétricos.

Las partículas que exhiben estados totalmente antisimétricos se llaman fermiones. La antisimetría total da lugar al principio de exclusión de Pauli, que prohíbe que fermiones idénticos estén en el mismo estado cuántico, esta es la razón de la tabla periódica, y de la estabilidad de la materia. El principio de exclusión de Pauli lleva a la estadística de Fermi-Dirac, que describe sistemas de muchos fermiones idénticos.

Las partículas que exhiben estados totalmente simétricos se llaman bosones. A diferencia de los fermiones, los bosones idénticos pueden compartir estados cuánticos. A causa de esto, los sistemas con muchos bosones idénticos se describen por la estadística de Bose-Einstein. Esto da lugar a fenómenos variados como el láser, el condensado de Bose-Einstein y la superfluidez.

Hay al menos una excepción a este esquema: en ciertos sistemas bidimensionales sujetos a un campo magnético intenso, puede haber una simetría "mixta". Estas partículas exóticas, conocidas como anyones, se rigen por la estadística fraccional. Este fenómeno se ha observado en gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión en los MOSFETs.

Hay una estadística más, para los plektones.

El teorema de estadística de espín relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín. Afirma que los bosones tienen espín entero, y los fermiones tienen espín semientero. Los anyones tienen espín fraccionario.

Estadísticas

Más arriba, se ha comentado que los bosones, los fermiones y las partículas distinguibles dan lugar a estadísticas diferentes. Esto puede mostrarse con un modelo de dos partículas:

Se trata de un sistema de dos partículas, A y B, en el que cada partícula pueda estar en dos posibles estados, etiquetados |0> y |1>, de la misma energía. Si este sistema evoluciona en el tiempo, interaccionando con un entorno "ruidoso" (intercambiando energía de forma aleatoria), los estados se poblarán de forma aleatoria (ya que los estados |0> y |1> son energéticamente equivalentes). Al cabo de cierto tiempo, el sistema se distribuirá probabilísticamente en todos sus estados posibles.

Si A y B son partículas distinguibles, el sistema compuesto tiene cuatro estados posibles (y equiprobables): |0>|0>, |1>|1>, |0>|1>, y |1>|0>. La probabilidad de obtener las dos partículas en el estado |0> es 0,25; la probabilidad de obtener las dos en el estado |1> es 0,25; y la probabilidad de obtener una en el estado |0> y otra en el estado |1> es 0,5.

Si A y B son bosones idénticos, el sistema compuesto sólo tiene tres estados posibles: |0>|0>, |1>|1>, y 2-1/2(|0>|1> + |1>|0>). Cuando se realice la medida, la probabilidad de obtener dos partículas en el estado |0> será ahora 0,33; la de obtener las dos en el estado |1> será 0,33; y la de obtener una en cada estado será 0,33.

Si A y B son fermiones idénticos, sólo hay un estado disponible al sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico 2-1/2(|0>|1> - |1>|0>). Al hacer la medida, inevitablemente se encontrará que una partícula está en estado |0> y la otra en estado |1>.

Los resultados se resumen en la Tabla 1:

Tabla 1: Estadísticas de dos partículas

Como se puede ver, incluso un sistema de dos partículas exhibe diferente comportamiento estadístico entre bosones, fermiones y partículas distinguibles. En los artículos estadística de Fermi-Dirac y estadística de Bose-Einstein se extienden estos principios a un número mayor de partículas, con resultados cualitativamente similares.

Obtenido de:http://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_id%C3%A9nticas

Tirso Ramírez

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Espín

El espín (del inglés spin 'giro, girar') se refiere a una propiedad física de las partículas subatómicas, por la cual toda partícula elemental tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Eso implica que cualquier observador al hacer una medida del momento angular detectará inevitablemente que la partícula posee un momento angular intríseco total, difiriendo observadores diferentes sólo sobre la dirección de dicho momento no sobre su valor. Se trata de una propiedad intrínseca de la partícula como lo es la masa o la carga eléctrica. El espín fue introducido en 1925 por Ralph Kronig e, independientemente, por George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit. En 1920, los químicos analíticos llegaron a la conclusión que, para describir a los electrones en el átomo, además de los números cuánticos, se requería de un cuarto concepto, el llamado espín del electrón. Éste, al girar sobre su propio eje genera un campo magnético, el denominado espín.

La colisión de un quark (la esfera roja) desde un protón (la esfera naranja) con un gluón (la esfera verde) desde otro protón con espín opuesto. El espín está representado por las flechas azules alrededor del protón y del quark. Los signos de interrogación azules alrededor del gluón representan la pregunta: ¿Están los gluones polarizados?: Las partículas expulsadas de la colisión son una lluvia de quarks y un fotón (la esfera púrpura).

Los dos físicos, Goudsmit y Uhlenbeck, descubrieron que, si bien la teoría cuántica de la época no podía explicar algunas propiedades de los espectros atómicos, añadiendo un número cuántico adicional, el espín, se lograba dar una explicación más completa de los espectros atómicos. Pronto, el concepto de espín se amplió a todas las partículas subatómicas, incluidos los protones, los neutrones y las antipartículas.

El espín proporciona una medida del momento angular y de la acción, intrínseco de toda partícula. Todo esto en contraste con la mecánica clásica, donde el momento angular se asocia a la rotación de un objeto extenso. El espín es un fenómeno exclusivamente cuántico.

Existe una relación directa entre el espín de una partícula y la estadística que obedece en un sistema colectivo de muchas de ellas. Esta relación, conocida empíricamente, es demostrable en teoría cuántica de campos relativista.

Contenido

* 1 Propiedades del espín

* 2 Teorema espín-estadística

* 3 Tratamiento matemático del espín

* 4 Espín y momento magnético

* 5 Aplicaciones a las nuevas tecnologías o a tecnologías futuras

o 5.1 Magnetorresistencia y láser

o 5.2 Espintrónica y computación cuántica

* 6 Véase también

* 7 Enlaces externos

Propiedades del espín

Como propiedad mecanocuántica, el espín presenta una serie de cualidades que lo distinguen del momento angular clásico:

* En primer lugar el valor de espín está cuantizado, lo que significa que no pueden encontrarse partículas con cualquier valor del espín, sino que el espín de una partícula siempre es un múltiplo entero de \hbar/2 (donde \hbar es la constante de Planck dividida entre 2π, también llamada constante de Dirac).

* En segundo lugar, cuando se realiza una medición del espín en diferentes direcciones, sólo existen dos posibles valores iguales y de signo contrario, que son sus posibles proyecciones sobre una dirección predeterminada. Por ejemplo, la proyección del momento angular de espín de un electrón, si se mide en una dirección particular dada por un campo magnético externo, puede resultar únicamente en los valores \hbar/2 o bien -\hbar/2.

* En tercer lugar, la magnitud del espín, independiente de la dirección, es única para cada tipo de partícula elemental. Para los electrones, los protones y los neutrones, esta magnitud es, en unidades de \hbar\cdot\sqrt{s(s+1)} , siendo s = 1/2 \,. Esto contrasta con el caso clásico donde el momento angular de un cuerpo alrededor de su eje puede asumir diferentes valores según la rotación sea más rápida o menos.

Teorema espín-estadística

Otra propiedad fundamental de las partículas cuánticas es que parecen existir sólo dos tipos llamados fermiones y bosones, los primeros obedecen la estadística de Fermi-Dirac y los segundos la estadística de Bose-Einstein. Eso implica que los agregados de fermiones idénticos están descritos por funciones de onda totalmente antisimétricas mientras que los bosones idénticos vienen descritos por funciones de onda totalmente simétricas. Curiosamente existe una conexión entre el tipo de estadística que obedecen las partículas y su spin. Los fermiones tienen espines semienteros y los bosones enteros:

Donde n y m son números enteros no negativos (números naturales) que dependen del tipo de partículas. Los electrones, neutrones y protones son fermiones de espín \hbar/2 mientras que los fotones tienen espín \hbar. Algunas partículas exóticas como el pión tienen espín nulo. Los principios de la mecánica cuántica indican que los valores del espín se limitan a múltiplos enteros o semienteros de \hbar), al menos bajo condiciones normales.

Tratamiento matemático del espín

En mecánica cuántica el espín (de una partícula de espín s) se representa como un operador sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita de dimensión 2s+1. Este operador vectorial viene dado por:

siendo σi las matrices de Pauli (o alguna otra base que genere el álgebra de Lie su(2)).

El proceso de medición del espín mediante el operador S se hace de la forma,

donde los operadores vienen dados por las matrices de Pauli. Éstas se escriben en función de la base común proporcionada por los autovectores de Sz.

La base en \tilde z se define para una partícula (el caso más sencillo s = 1 / 2) que tiene el espín con proyección en la dirección z (en coordenadas cartesianas) hay dos autoestados de S. Se asignan vectores a los espines como sigue:

entonces el operador correspondiente en dicha representación será

Para partículas de espín superior la forma concreta de las matrices cambia. Así para partículas de espín s las matrices que representan matemáticamente el espín son matrices cuadradas de 2s+1 x 2s+1.

Espín y momento magnético

Las partículas con espín presentan un momento magnético, recordando a un cuerpo cargado eléctricamente en rotación (de ahí el origen del término: spin, en inglés, significa "girar"). La analogía se pierde al ver que el momento magnético de espín existe para partículas sin carga, como el fotón. El ferromagnetismo surge del alineamiento de los espines (y, ocasionalmente, de los momentos magnéticos orbitales) en un sólido.

Aplicaciones a las nuevas tecnologías o a tecnologías futuras [editar]

Magnetorresistencia y láser

Actualmente, la microelectrónica encuentra aplicaciones a ciertas propiedades o efectos derivados de la naturaleza del espín, como es el caso de la magnetorresistencia (MR) o la magnetorresistencia gigante (MRG) que se aprovecha en los discos duros.

Se puede ver el funcionamiento de los láseres como otra aplicación de las propiedades del spin. En el caso de los bosones se puede forzar a un sistema de bosones a posicionarse en el mismo estado cuántico. Este es el principio fundamental del funcionamiento de un láser en el que los fotones, partículas de espín entero, se disponen en el mismo estado cuántico produciendo trenes de onda en fase.

Espintrónica y computación cuántica

Al uso, presente y futuro, de tecnología que aprovecha propiedades específicas de los spines o que busca la manipulación de espines individuales para ir más allá de las actuales capacidades de la electrónica se la conoce como espintrónica.

También se baraja la posibilidad de aprovechar las propiedades del espín para futuras computadoras cuánticas, en los que el espín de un sistema aislado pueda servir como qubit o bit cuántico. En este sentido, el físico teórico Michio Kaku, en su libro universos paralelos, explica de modo sencillo y divulgativo cómo los átomos pueden tener orientado su espin hacia arriba, hacia abajo o a un lado, indistintamente. Los bits de ordenador ( 0 y I ) podrían ser reemplazados por qubit (algo entre 0 y I ), convirtiendo las computadoras cuánticas en una herramienta mucho más potente. Esto permitiría no sólo renovar los fundamentos de la informática sino superar los procesadores actuales basados en el silicio.

Obtenido de:http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn

Tirso Ramírez

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Física de partículas

La Física de Partículas o Física de Altas Energías es la parte de la Física que estudia los componentes elementales de la materia y las interacciones entre ellos.

Las partículas fundamentales se subdividen en bosones (partículas de espín entero como por ejemplo 0, 1, 2...) las fuerzas fundamentales de la naturaleza son transmitidas por estas particulas, y fermiones (partículas de espín semientero como por ejemplo 1/2 ó 3/2).

Se consideran 4 tipos de fuerzas o interacciones fundamentales:

• Electromagnética: transmitida por fotones la sufren todas las partículas con carga eléctrica.

• Nuclear débil: transmitida por los bosones vectoriales W± y Z0 es la responsable, por ejemplo, de la desintegración .

• Nuclear fuerte: transmitida por los gluones es la que hace que los quarks se unan para formar mesones y bariones (nucleones). Solo la sufren los hadrones.

• Gravitación: transmitida por el gravitón (partícula no descubierta aún). Al nivel de partículas fundamentales esta fuerza es de escasa importancia y difícil de incluir en las teorías.

Algunas teorías fundamentales predicen la existencia de otros bosones más pesados como el bosón de Higgs (a veces varios) que dotaría de masa a las partículas fundamentales.

Los componentes básicos de la materia son fermiones, incluyendo
los bien conocidos protón, neutrón, y electrón.

De éstos, solamente el electrón es realmente elemental.

Los otros dos son agregados de partículas más pequeñas (quarks) unidos por la interacción fuerte.

Los fermiones elementales existen en cuatro variedades básicas, cada una de las cuales se clasifica en tres generaciones con diversas masas:

Las partículas se agrupan en generaciones.

Existen tres generaciones.

La primera está compuesta por el electrón, su neutrino y los quarks up y down.

La materia ordinaria está compuesta por partículas de esta primera generación.

Las partículas de otras generaciones se desintegran en partículas de las generaciones inferiores.

Los leptones existen libres.

Sin embargo los quarks solo existen en grupos sin color debido a que los gluones poseen carga de color.

Estos grupos están formados por dos (mesones) o tres (bariones) quarks.

El protón y el neutrón son algunos de los bariones existentes. El pion es uno de los mesones más importantes.

Se puede encontrar información sobre las propiedades de las distintas partículas elementales en inglés en el sitio web del Particle Data Group

- Las partículas de la tabla solo tienen carga débil si son levógiras o, para las antipartículas, si son dextrógiras.

Principio de exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli es un principio cuántico enunciado por Wolfgang Ernst Pauli en 1925 que establece que no puede haber dos fermiones con todos sus números cuánticos idénticos (esto es, en el mismo estado cuántico de partícula individual). Hoy en día no tiene el estatus de principio, ya que es derivable de supuestos más generales (de hecho es una consecuencia del teorema spin-estadística).

Introducción

El principio de exclusión de Pauli sólo se aplica a fermiones, esto es, partículas que forman estados cuánticos antisimétricos y que tienen espín semientero. Son fermiones, por ejemplo, los protones, los neutrones, y los electrones, los tres tipos de partículas subatómicas que constituyen la materia ordinaria. El principio de exclusión de Pauli rige, así pues, muchas de las características distintivas de la materia. En cambio, partículas como el fotón y el (hipotético) gravitón no obedecen a este principio, ya que son bosones, esto es, forman estados cuánticos simétricos y tienen espín entero. Como consecuencia, una multitud de fotones puede estar en un mismo estado cuántico de partícula, como en los láseres.

Es sencillo derivar el principio de Pauli, basándonos en el artículo de partículas idénticas. Los fermiones de la misma especie forman estados totalmente antisimétricas, lo que para el caso de dos partículas significa que:

(La permutación de una partícula por otra invierte el signo de la función que describe al sistema). Si las dos partículas ocupan el mismo estado cuántico |ψ>, el estado del sistema completo es |ψψ>. Entonces,

así que el estado no puede darse. Esto se puede generalizar al caso de más de dos partículas.

Consecuencias

El principio de exclusión de Pauli interpreta un papel importante en un vasto número de fenómenos físicos. Uno de los más importantes (y que es por el que se formuló el principio en primer lugar) es la configuración electrónica de los átomos. Un átomo eléctricamente neutro aloja a un número de electrones igual al número de protones en su núcleo. Como los electrones son fermiones, el principio de exclusión les prohíbe ocupar el mismo estado cuántico, así que tienen que ir ocupando sucesivas capas electrónicas.

Como ejemplo, es ilustrativo considerar un átomo neutro de helio, que tiene dos electrones ligados. Estos dos electrones pueden ocupar los estados de mínima energía (1s), si presentan diferente espín. Esto no viola el principio de Pauli, porque el espín es parte del estado cuántico del electrón, así que los dos electrones están ocupando diferentes estados cuánticos (espínorbitales). Sin embargo, el espín sólo puede tomar dos valores propios diferentes (o, dicho de otra forma, la función que describe al sistema sólo puede tener dos estados diferentes que sean propios del operador espín ). En un átomo de litio, que contiene tres electrones ligados, el tercer electrón no puede entrar en un estado 1s, y tiene que ocupar uno de los estados 2s (de energía superior). De forma análoga, elementos sucesivos producen capas de energías más y más altas. Las propiedades químicas de un elemento dependen decisivamente del número de electrones en su capa externa, lo que lleva a la tabla periódica de los elementos.

El principio de Pauli también es responsable de la estabilidad a gran escala de la materia. Las moléculas no pueden aproximarse arbitrariamente entre sí, porque los electrones ligados a cada molécula no pueden entrar en el mismo estado que los electrones de las moléculas vecinas. Este es el principio que hay tras el término de repulsión r-12 en el potencial Lennard-Jones. Enunciado en palabras llanas, pero didácticas: "El principio de Pauli es una de las razones por la que no te caes a través del suelo", aunque la razón principal por la que no nos caemos a través del suelo es la repulsión de carácter electrostático existente entre los electrones de los átomos.

En la astronomía se encuentran algunas de las demostraciones más espectaculares de este efecto, en la forma de enanas blancas y estrellas de neutrones. En ambos objetos, las estructuras atómicas usuales han sido destruidas por la acción de fuerzas gravitacionales muy intensas. Sus constituyentes sólo se sustentan por la "presión de degeneración" (que les prohíbe estar en un mismo estado cuántico). Este estado exótico de la materia se conoce como materia degenerada. En las enanas blancas, los átomos se mantienen apartados por la presión de degeneración de los electrones. En las estrellas de neutrones, que presentan fuerzas gravitacionales aún mayores, los electrones se han fusionado con los protones para producir neutrones, que tienen una presión de degeneración mayor.

Otro fenómeno físico del que es responsable el principio de Pauli es el ferromagnetismo, en el que el principio de exclusión implica una energía de intercambio que induce al alineamiento paralelo de electrones vecinos (que clásicamente se alinearían antiparalelamente).

Espín

El espín (del inglés spin 'giro, girar') se refiere a una propiedad física de las partículas fundamentales, por la cual toda partícula elemental tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Se trata de una propiedad intrínseca de la partícula como lo es la masa o la carga eléctrica. El espín fue introducido en 1925 por Ralph Kronig e, independientemente, por George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit.

Los dos físicos, Goudsmit y Uhlenbeck, descubrieron que, si bien la teoría cuántica de la época no podía explicar algunas propiedades de los espectros atómicos, añadiendo un número cuántico adicional, el espín, se lograba dar una explicación más completa de los espectros atómicos. Pronto, el concepto de espín se amplió a todas las partículas subatómicas, incluidos los protones, los neutrones y las antipartículas.

El espín proporciona una medida del momento angular y de la acción, intrínseco de toda partícula. Todo esto en contraste con la mecánica clásica, donde el momento angular se asocia a la rotación de un objeto extenso. El espín es un fenómeno exclusivamente cuántico.

En las teorías cuánticas no relativistas el espín debe introducirse de manera artificial, mientras que en las relativistas aparece de manera natural.

Tabla de contenidos

• 1 Propiedades del espín

• 2 Teorema espín-estadística

• 3 Tratamiento matemático del espín

• 4 Espín y momento magnético

• 5 Aplicaciones a las nuevas tecnologías o a tecnologías futuras

o 5.1 Magnetorresistencia y láser

o 5.2 Espintrónica y computación cuántica

• 6 Enlaces externos

Propiedades del espín

Como propiedad mecanocuántica, el espín presenta una serie de cualidades que lo distinguen del momento angular clásico:

• En primer lugar el valor de espín está cuantizado, lo que significa que no pueden encontrarse partículas con cualquier valor del espín, sino que el espín de una partícula siempre es un múltiplo entero de (donde es la constante de Planck dividida entre 2π).

• En segundo lugar, cuando se realiza una medición del espín en diferentes direcciones, sólo existen dos posibles valores iguales y de signo contrario, que son sus posibles proyecciones sobre una dirección predeterminada. Por ejemplo, la proyección del momento angular de espín de un electrón, si se mide en una dirección particular dada por un campo magnético externo, puede resultar únicamente en los valores o bien .

• En tercer lugar, la magnitud del espín, independiente de la dirección, es única para cada tipo de partícula elemental. Para los electrones, los protones y los neutrones, esta magnitud es, en unidades de , siendo . Esto contrasta con el caso clásico donde el momento angular de un cuerpo alrededor de su eje puede asumir diferentes valores según la rotación sea más rápida o menos.

Teorema espín-estadística

Otra propiedad fundamental de las partículas cuánticas es que parecen existir sólo dos tipos llamados fermiones y bosones, los primeros obdecen la estadística de Fermi-Dirac y los segundos la estadística de Bose-Einstein. Eso implica que los agregados de fermiones idénticos están descritos por funciones de onda totalmente antisimétricas mientras que los bosones idénticos vienen descritos por funciones de onda totalmente simétricas. Curiosamente existe una conexión entre el tipo de estadística que obedecen las partículas y el su espín. Los fermiones tienen espines "semienteros" y los bosones enteros:

Donde n y m son números enteros positivos que dependen del tipo de partículas. Los electrones, neutrones y protones son fermiones de espín mientras que los fotones tienen espín . Algunas partículas exóticas como el pión tienen espín nulo. Los principios de la mecánica cuántica indican que los valores del espín se limitan a múltiplos enteros o semienteros de ), al menos bajo condiciones normales.

Tratamiento matemático del espín

En mecánica cuántica el espín (de una partícula de espín s) se representa como un operador sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita de dimensión 2s+1. Este operador vectorial viene dado por:

siendo σi las matrices de Pauli (o alguna otra base que genere el álgebra de Lie su(2)).

El proceso de medición del espín de un electrón en la dirección z (en coordenadas cartesianas) hay dos autoestados de S. Se asignan vectores a los espines como sigue:

entonces el operador correspondiente en dicha representación será

En representación matricial el operador actúa con los vectores de dirección llamados "espinores".

Espín y momento magnético

Las partículas con espín presentan un momento magnético, recordando a un cuerpo cargado eléctricamente en rotación (de ahí el origen del término: spin, en inglés, significa "girar"). La analogía se pierde al ver que el momento magnético de espín existe para partículas sin carga, como el fotón. El ferromagnetismo surge del alineamiento de los espines (y, ocasionalmente, de los momentos magnéticos orbitales) en un sólido.

Aplicaciones a las nuevas tecnologías o a tecnologías futuras

Magnetorresistencia y láser

Actualmente, la microelectrónica encuentra aplicaciones a ciertas propiedades o efectos derivados de la naturaleza del espín, como es el caso de la magnetorresistencia (MR) o la magnetorresistencia gigante (MRG) que se aprovecha en los discos duros.

Se puede ver el funcionamiento de los láseres como otra aplicación de las propiedades del espín. En el caso de los bosones se puede forzar a un sistema de bosones a posicionarse en el mismo estado cuántico. Este es el principio fundamental del funcionamiento de un láser en el que los fotones, partículas de espín entero, se disponen en el mismo estado cuántico produciendo trenes de onda en fase.

Espintrónica y computación cuántica

Al uso, presente y futuro, de tecnología que aprovecha propiedades específicas de los espines o que busca la manipulación de espines individuales para ir más allá de las actuales capacidades de la electrónica se la conoce como espintrónica.

También se baraja la posibilidad de aprovechar las propiedades del espín para futuras computadoras cuánticas, en los que el espín de un sistema aislado pueda servir como qubit o bit cuántico.

Obtenido de:http://www.aolivella.cat/Rafanell/HOMINIDOS/1%20COSMOS/5%20PARTICULAS.doc

Tirso Ramírez

CRF