por Emilio Silvera
Después de que Max Planck nos hablara de su cuanto de acción, h, en relación con la radiación de cuerpo negro, Einstein, en 1905, formuló esta teoría de una forma más tajante; él sugirió que los objetos calientes no son los únicos que emiten radiación en paquetes de energía, sino que toda la radiación consiste en múltiplos de paquetes de energía de Planck. El príncipe francés Louis-Victor de Broglie, dándole otra vuelta a la teoría, propuso que no sólo cualquier cosa que oscila tiene una energía, sino que cualquier cosa con energía se debe comportar como una "onda" que se extiende en una cierta región del espacio, y que la frecuencia, v, de la oscilación verifica la ecuación de Planck E = h x v, donde E es la energía del paquete, v la frecuencia y h una nueva constante fundamental de la naturaleza, la constante de Planck.
Por lo tanto, los cuantos asociados con los rayos de luz deberían verse como una clase de partículas elementales: el fotón. Todas las demás clases de partículas llevan asociadas diferentes ondas oscilatorias de campos de fuerza.
El curioso comportamiento de los electrones en el interior del átomo, descubierto y explicado por el famoso físico danés Niels Bhor, se pudo atribuir a las ondas de De Broglie. Poco después, en 1926, Erwin Schrödinger descubrió como escribir la teoría ondulatoria de De Broglie con ecuaciones matemáticas exactas. La precisión con la cual se podían realizar cálculos era asombrosa, y pronto quedó claro que el comportamiento de todos los objetos pequeños quedaba exactamente determinado por las recientemente descubiertas "ecuaciones de onda cuánticas".
No hay duda de que la Mecánica cuántica funciona maravillosamente bien. Sin embargo, surge una pregunta muy formal: ¿Qué significan realmente esas ecuaciones?, ¿qué es lo que están describiendo? Cuando Isaac Newton, allá en 1687, formuló como debían moverse los planetas alrededor del Sol, estaba claro para todo el mundo lo que significaban sus ecuaciones: que los planetas están siempre en una posición bien definida del espacio y que sus posiciones y sus velocidades en un momento concreto determinan inequívocamente cómo evolucionaran las posiciones y las velocidades con el tiempo.
Pero para los electrones todo es muy diferente. Su comportamiento parece estar envuelto en misterio. Es como si pudieran "existir" en diferentes lugares simultáneamente, como si fuera una nube o una onda, y esto no es un efecto pequeño. Si se realizan experimentos con suficiente precisión, se puede determinar que el electrón parece capaz de moverse simultáneamente a lo largo de trayectorias muy separadas unas de otras. ¿Qué significa todo esto?
Niels Bhor consiguió responder a esta pregunta de forma tal que con su explicación se pudo seguir trabajando y muchos físicos siguen considerando su respuesta satisfactoria. Se conoce como la "interpretación de Copenhague" de la mecánica cuántica. En ves de decir que un electrón se encuentra en un punto x o en un punto y, los físicos hablan acerca del estado de un electrón. Ahora no sólo tienen el estado "x" o el estado "y", sino estados "parcialmente x y también parcialmente y".
Un único electrón puede encontrarse, por lo tanto, en varios lugares simultáneamente. Precisamente lo que nos dice la Mecánica Cuántica es cómo cambia el estado del electrón según transcurre el tiempo.
Las leyes de la mecánica cuántica se han formulado con mucha precisión. Sabemos exactamente como calcular cualquier cosa que queramos saber. Pero si queremos "interpretar" el resultado, nos encontramos con una curiosa incertidumbre fundamental: que varias propiedades de las partículas pequeñas no pueden estar bien definidas simultáneamente. Por ejemplo, podemos determinar la velocidad de una partícula con mucha precisión, pero entonces no sabremos exactamente dónde se encuentra; o, a la inversa, podemos determinar su posición con precisión, pero entonces su velocidad queda mal definida. Si una partícula tiene "spín" (rotación alrededor de su eje) no puede ser definida con gran precisión.
No es fácil explicar con sencillez de dónde viene esta incertidumbre, pero hay ejemplos en la vida ordinaria que tienen algo parecido. La altura de un tono y la duración en el tiempo durante el cual oímos el tono tienen una incertidumbre mutua similar. Si uno desea afinar un instrumento musical, debe escuchar una nota durante un cierto intervalo de tiempo y compararla, por ejemplo, con un diapasón que debe vibrar también durante algún tiempo. Notas muy breves no tienen bien definido el tono; así, por ejemplo, si uno toca unas notas en brevísimos staccatos, no se puede oír muy bien si el instrumento está bien afinado. Esto es especialmente cierto para las notas bajas. Advierto que me estoy refiriendo a una propiedad fundamental del sonido que no tiene nada que ver con la musicalidad.
Para que las reglas de la Mecánica cuántica funcionen, es necesario que todos los fenómenos naturales en el mundo de las cosas pequeñas estén regidos por las mismas reglas. Esto incluye a los virus, bacterias e incluso a las personas. Sin embargo, cuanto más grande y más pesado es un objeto más difícil es observar las desviaciones de las leyes del moviendo "clásicas" debidas a la mecánica cuántica. Me gustaría referirme a esta exigencia tan importante y tan peculiar de la teoría con la palabra "holismo". Esto no es exactamente lo mismo que entienden algunos filósofos por "holismo", y que se podría definir como "el todo es más que la suma de sus partes". Bien, si la física nos ha enseñado algo, es justo lo contrario: un objeto compuesto de un gran número de partículas puede ser entendido exactamente si se conocen las propiedades de sus partes (las partículas): basta que uno sepa sumar correctamente (¡y esto no es nada fácil en mecánica cuántica!).
Lo que yo entiendo por holismo es que, efectivamente, el todo es la suma de las partes, pero sólo se puede hacer la suma si todas las partes obedecen a las mismas leyes. Por ejemplo, la constante de Planck, h = 6,626075…x 10 exp.-34 julios segundo, debe ser exactamente la misma para cualquier objeto en cualquier sitio o lugar del Universo, es decir, debe ser una constante universal.
Las reglas de la Mecánica cuántica funcionan tan bien que refutarlas resulta realmente difícil. Los trucos ingeniosos descubiertos por Werner Heisemberg, Paul Dirac y muchos otros mejoraron y completaron las reglas generales. Pero Einsteiny otros pioneros tales como Erwin Schrödinger, siempre presentaron serias objeciones a esta interpretación. Quizá funcione bien, pero ¿dónde está exactamente el electrón, en el punto x o en el punto y? En pocas palabras, ¿dónde está la realidad? ¿Cuál es la realidad que existe detrás de nuestras fórmulas? Si tenemos que creer a Bhor, no tiene sentido buscar tal realidad, ya que, parece que el Universo nos impone una especie de censura para que nunca la podamos conocer al completo. Las reglas de la Mecánica cuántica, por sí mismas, y las observaciones realizadas con detectores son las únicas realidades de las que podemos hablar.
Hasta hoy, muchos investigadores coinciden con la actitud pragmática de Bohr. Los libros de historia dicen que Bohr demostró que Einstein estaba equivocado. Pero otros científicos (como yo mismo), sospechan que a largo plazo el punto de vista de Einstein volverá: que falta algo en la interpretación de Copenhague. Las objeciones originales de Einstein podrían superarse pero, aún surgen problemas cuando los científicos tratan de formular la mecánica cuántica para todo el Universo (donde las medidas no se pueden repetir) cuando se trata de reconciliar las leyes de la mecánica cuántica con las de la gravitación.
La Mecánica cuántica junto a la Relatividad (Planck y Einstein) son dos logros del ingenio humano que se podrían clasificar en lo más alto de la tabla de las maravillas científicas alcanzadas por el hombre.
emilio silvera
Fuente : http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/2010/02/07/la-mecanica-cuantica-asombrosa-teoria-2/
Arellano A. Wilson I.
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sábado, 13 de febrero de 2010
viernes, 12 de febrero de 2010
Quantum Mechanics/Molecular Mechanics Investigation of the Chemical Reaction in Dpo4 Reveals Water-Dependent Pathways and Requirements for Active Site Reorganization
Yanli Wang and Tamar Schlick
Department of Chemistry and Courant Institute of Mathematical Sciences, New York UniVersity,251 Mercer Street, New York, New York 10012
Abstract: The nucleotidyl-transfer reaction coupled with the conformational transitions in DNA polymerases is critical for maintaining the fidelity and efficiency of DNA synthesis. We examine here the possible reaction pathways of a Y-family DNA polymerase, Sulfolobus solfataricus DNA polymerase IV (Dpo4), for the correct insertion of dCTP opposite 8-oxoguanine using the quantum mechanics/molecular mechanics (QM/MM) approach, both from a chemistry-competent state and a crystal closed state. The latter examination is important for understanding pre-chemistry barriers to interpret the entire enzyme mechanism, since the crystal closed state is not an ideal state for initiating the chemical reaction. The most favorable reaction path involves initial deprotonation of O3H via two bridging water molecules to O1A, overcoming an overall potential energy barrier of approximately 20.0 kcal/mol. The proton on O1A-PR then migrates to the γ-phosphate oxygen of the incoming nucleotide as O3 attacks PR, and the PR-O3A bond breaks. The other possible pathway in which the O3H proton is transferred directly to O1A on PR has an overall energy barrier of 25.0 kcal/mol. In both reaction paths, the rate-limiting step is the initial deprotonation, and the trigonal-bipyramidal configuration for PR occurs during the concerted bond formation (O3-PR) and breaking (PR-O3A), indicating the associative nature of the chemical reaction. In contrast, the Dpo4/DNA complex with an imperfect active-site geometry corresponding to the crystal state must overcome a much higher activation energy barrier (29.0 kcal/mol) to achieve a tightly organized site due to hindered O3H deprotonation stemming from larger distances and distorted conformation of the proton acceptors. This significant difference demonstrates that the pre-chemistry reorganization in Dpo4 costs approximately 4.0 to 9.0 kcal/mol depending on the primer terminus environment. Compared to the higher fidelity DNA polymerase f from the X-family, Dpo4 has a higher chemical reaction barrier (20.0 vs 15.0 kcal/mol) due to the more solvent-exposed active site.
Introduction
DNA polymerases are fundamental enzymes responsible for DNA replication and repair and thus play a crucial biological role that maintains the continual survival of all living organisms on earth.1,2 According to primary sequence alignments, DNA polymerases can be grouped into seven different families (A,B, C, D, X, Y, and RT). The recently discovered low-fidelity Y-family DNA polymerases 3 are particularly notable because of their lesion-bypassing capacity; namely, they can transverse bulky lesions at the replication fork whereas replicative DNA polymerases stall there and thus can rescue the replication process in an error-prone or error-free manner.
Sulfolobus solfataricus DNA Polymerase IV (Dpo4), a thermophilic archaeal protein capable of translesion synthesis, is one of the Y-family DNA polymerases crystallized and well-studied experimentally. The Dpo4/DNA complexes containing regular as well as lesioned template bases at the active site have been resolved crystallographically.
These structures reveal four Dpo4 protein domains, including palm, thumb,fingers, and little finger. Like other DNA polymerases, the active site for nucleotide insertion in Dpo4 is located in the palm domain, where the catalytic triad, Asp7, Asp105, and Glu106, coordinate with two metal ionssthe nucleotide-binding and catalytic Mg2+. It is believed that DNA polymerases across different families employ a common "two-metal-ion" mechanism18-21 during the catalysis for the chemical reaction, in which the catalytic and nucleotide-binding Mg2+ ions stabilize the inter- mediate/transition states by bridging the attacking nucleophilic group O3 and the R-phosphate of the incoming nucleotide via metal-ligand bonds. Castro et al.21 recently showed that the two-proton transfer mechanism may even be common for polymerases in general, whether the active site is relatively open or closed. In their study, these two transition steps are depro- tonation of O3H and protonation of the pyrophosphate leaving group. However, they could not rule out water-assisted pathways.
Many studies have been performed to investigate the chemical reaction mechanism in various DNA polymerases, including high-fidelity DNA polymerase T7 from the A-family,20 poly- merase f (pol f) from the X-family,22-27 and Y-family Dpo4.28. Employing the Empirical Valence Bond (EVB) method, Floria´n and co-workers20 calculated the free energy barriers for the chemical reaction in T7. They examined the possible competing reactions and found that the most favorable reaction pathway in T7 involves proton transfer to Asp654, an active-site catalytic Asp residue coordinating both the catalytic and nucleotide- binding metal ions, with a free energy barrier of 12 kcal/mol. Later, the same authors29 also applied the linear response approximation and the EVB method to assess the contribution of the substrate binding, pK(a) shifts, and chemical steps to T7's overall fidelity.
For DNA pol f, quantum mechanical and combined quantum mechanics/molecular mechanics (QM/MM) studies suggest that different deprotonation routes for O3H are possible, namely, direct deprotonation to an R-phosphorus oxygen of the incoming nucleotide, proton migration to Asp256,23 and proton transfer to explicit active site water molecules.24,26 In addition, Warshel and co-workers have performed free energy calculations for the chemical reaction barriers in pol f using the EVB/FEP and the diabatic frozen density functional methods as well as the microscopic linear response approximation (LRA) and the semimacroscopic PDLD/ S-LRA methods.30-33 See also ref 34 on possible pitfalls of QM/MM minimization approaches.
Abashkin and co-workers22 used a simplified active site model in their QM calculations to map out the reaction potential energy surface. In their model, the Asp256 was represented by an HO- group, Asp192 was protonated, and no crystal water coordinated the catalytic Mg2+; as a result, this ion was only bound to five ligands. The reaction pathway was found to be associative and initiated by O3H deprotonation to a phosphate-oxygen on PR. The rate-limiting step was the nucleophilic attack by O3 on PR. A pentacoordinated PR transition state and a series of other intermediates were captured along the pathway.
Rittenhouse et al investigated the role of the missing O3H from the primer and incoming nucleotide by MD and QM simulations of pol f. Results suggest that the missing primer terminus O3H in the pol f crystal structure might have caused the distortions in the coordination sphere of the catalytic metal ion. They also found an associative pathway for the chemical reaction but not the major intermediates along the reaction path. Several protonation states of coordinating ligands were tested, and an additional protonated Asp256 was deemed likely.
Radhakrishnan and Schlick24 employed short QM/MM dy- namics combined with umbrella sampling to calculate the free energies of intermediates along pol f's reaction path. They proposed a reaction mechanism involving initial O3H depro- tonation to solvent water molecules followed by proton migra- tion to active site Asp residues via a series of Grotthus hopping steps for both G:C and G:A systems. In particular, this work suggests that O3H deprotonation occurs simultaneously with the nucleophilic attack.
More recently, Bojin and Schlick27 performed a comprehen- sive QM investigation of the chemical reaction profile based on several pol f model systems. Several initial proton transfer pathways were examined. The direct route from O3 to O(PR) was found energetically the most favorable.
Lin et al performed QM/MM constrained minimizations using a pol f crystal structure containing a A:T matched nascent base pair, a fully revolved catalytic Mg2+, and primer O3H.
The latter two chemical groups were often missing in other crystal structures and were modeled into the active site by other authors. The Lin et al. work identified a partially associative reaction path starting with O3H deprotonation to Asp256 followed by the rate-limiting nucleophilic attack of O3 on PR. Recently, Lin et al. also investigated pol f's chemical reaction mechanism of incorrect nucleotide incorporation of a G:A mispair using MD, QM, and QM/MM methods.36 A nonreactive pre-chemistry rearrangement was found to occur before the chemical reaction, while the transition state and rate-limiting step during chemistry were similar to what has been found earlier in the correct A:T system.
Thus, a range of possibilities for the nucleotidyl-transfer reaction mechanism in pol f was found by QM and QM/MM studies. This might result from both methodological approxima- tions as well as biological versatility in the active site.
Since QM approaches can only treat the active site region while necessarily neglecting the influence of the protein/ DNA and solvent environment on the reaction mechanism, they are less accurate than the QM/MM methods in some respects. In addition, different QM methods for describing the reactive core and different initial structural models, such as different protonation states for active-site residues and incoming nucleotide, were used. To address this problem, Alberts et al recently explored three possible reaction pathways in pol f (i.e., O3H deprotonation to water molecules, to phosphate oxygen, and to catalytic Asp residues) using QM/MM based on the same simulation model and suggested that the water-assisted deprotonation pathway is more favorable than the other two.
However, besides methodological issues, it is also quite possible that evolution has permitted flexibility and versatility in polymerase mechanisms as well, to accommodate many different biological situations of active site environments, modified substrates, solvation, and salt. Such versatility could help avoid replication or repair malfunction under many varied natural conditions.
For Dpo4, Wang et al.28 have performed QM/MM calcula- tions implemented in GAUSSIAN0337 and TINKER38 and suggested that the nucleotidyl-transfer reaction is initiated by deprotonation of the primer terminus O3H to a crystal water coordinating the catalytic Mg2+ and that the concerted depro- tonation of O3H and proton transfer from the water molecule to R-phosphate oxygen is the rate-limiting step of the entire reaction path, with an energy barrier of approximately 21 kcal/ mol (free energy barrier of 13 kcal/mol). Overall, all these prior studies on different DNA polymerases indicate that the chemical reaction is associative in nature with a metastable pentacovalent phosphorane intermediate. The water-assisted deprotonation pathway might be the most favorable pathways for both pol f and Dpo4.
Pre-steady state kinetic experiments have suggested that the conformational transition before the chemical reaction is rate- limiting when Dpo4 incorporates a correct incoming nucleotide to the primer/template junction, while the chemical step is rate- limiting for the incorrect nucleotide insertion.39 Through long- time dynamics simulations of the Dpo4/DNA complex in a native-like environment, we have captured significant rigid-body motions in the finger and little finger domains that facilitate the DNA translocation.40 However, compared to the higher- fidelity pol f, these simulation results and crystallographic data15 suggest that the active-site region of Dpo4 might not undergo a large-magnitude conformational change upon binding of a correct incoming nucleotide as seen in pol site in Dpo4 is also more distorted than in pol f after the conformational changes relative to the ideal reaction-competent conformation,18,35,44 contributing to the low catalytic efficiency of Dpo4 compared to pol f.
Prior works on pol f and Dpo4 indicate that the polymerases' active sites must undergo subtle reorganization prior to the chemical reaction,40,44,45 so that the reactive region achieves an "ideal" geometry for the chemical catalysis.18,35,44 This was termed the "pre-chemistry" avenue44 to distinguish this phase from conformational rearrangements prior to chemistry and the chemical reaction itself. Of course, one entire free energy profile could also be used to describe the mechanism, but the separate treatment of these three phases helps emphasize their distinct nature. Namely, evidence suggests that pre-chemistry barriers are overcome by stochastic paths that may be distinct from the stepwise path of the chemical reaction itself. Such subtle active- site rearrangements before chemistry in pol f and Dpo4 are further supported by the fact that the ideal geometry is rarely seen, neither in the crystal structures15,46 nor in the molecular dynamics40,42 and transition path and free energy sampling24,43 simulations following the conformational change avenue. This suggests that the DNA polymerase complex can reside in various local minima and that, to reach the reactive state (or the "ideal" geometry) to initiate the chemical reaction, the enzyme must overcome energy barriers in a stochastic manner.44 The pre- chemistry concept is also supported by the recent work by Lin, et al.,36 where the authors found that a nonreactive pre-chemistry active-site structure rearrangement step occurs before the nucleotidyl transfer reaction of a G:A mismatch system and forms the major factor in decreasing the rate of incorrect nucleotide incorporation and thus to fidelity enhancement.
Here we simulate the nucleotidyl-transfer reaction in Dpo4 by various models to explore possible reaction pathways, including initial deprotonation of O3H: to active site water molecules, to R-phosphate oxygen atoms on the incoming nucleotide, and to the catalytic carboxylate side chains on (Asp7, Asp105, and Glu106), using QM/MM simulations implemented in CHARMM/GAMESS-UK. The crystal structure of the Dpo4/ DNA/dCTP ternary complex with 2-deoxy-7,8-dihydro-8- oxoguanosine (8-oxoG) (Figure 1b) at the template position15 is used to build the simulation systems. We choose this crystal structure for three reasons. First, 8-oxoG is one of the most prevalent lesions found in DNA and thus represents a natural state for Dpo4. Second, because of the changes at N7 and C8,8-oxoG differs from guanine (Figure 1a) in its capacity to form a Hoogsteen base pair (8-oxoG:A) in addition to an 8-oxoG:C base pair. The chemical reaction mechanism obtained from the 8-oxoG:C system could allow a comparison with that of the G:C template.28 Third, the active-site region in the chosen structure containing 8-oxoG is more favorable for the chemical reaction than most of the other known Dpo4 crystal structures. This is because of the relatively undisturbed metal ion coordina- tion in the active site due to the small size of the lesion as well as the nicely resolved O3H group on the incoming nucleotide, a segment usually missing in the other structures. In comparison, the crystal structure used in ref 28 also contains a reasonably organized active site, where the catalytic
Figure 1. Molecular formulas of (a) guanine and (b) 8-oxoguanine.
metal ion coordinates five ligands (Asp7, Asp105, Glu106, O2A, and a crystal water molecule). However, a bulky lesion (the benzo[a]pyrenyl moiety) was located at the active site of this structure and was replaced by a hydrogen atom before the simulation. This replacement could introduce approximations in the model as well.
We perform two systematic explorations with one model built from the Dpo4/DNA crystal structure, in which the active site region corresponds to the crystal state and not to the "ideal" geometry, and the other model based on an optimized structure with "ideal" ligand binding for the Mg2 ions. Only the latter form was considered in the recent work, which did not consider the pre-chemistry barriers that may be crucial to interpreting polymerase mechanisms.
Thus, we aim to describe the possible chemical reaction pathways for Dpo4 and estimate the energy barrier associated with the "pre-chemistry" organization, as well as chemistry.
Methods
Model Preparation. The Dpo4/DNA complex with a correct 8-oxoG:dCTP base pair at the active site was constructed using the available crystal structure15 (PDB ID: 2ASD). The missing residues 341-352 were modeled and connected to the C-terminus of Dpo4 protein as in our previous work.40 The crystal waters and ions were kept in the simulation system. The two binding Ca2+ ions at the active site of Dpo4 were replaced by Mg2+. Note that replacing Ca2+ by Mg2+ is a valid approximation. Vaisman et al.14 have compared the two Ca2+ ions in the active site of the Ab-2A structure5 to the two Mg2+ ions in the active site of the T7 DNA polymerase ternary complex47 and found that Ca2+ ions are not the cause for the metal ion displacement observed in the Dpo4/ DNA/T:dATP (PBD ID: 2AGQ) structure. Although the catalytic ion in this structure is Mg2+ rather than Ca2+, the Mg2+ ion does not bind the R-phosphate oxygen on the incoming dATP. Thus, the Ca2+ ions in the 2ASD structure can be replaced by Mg2+ without causing distortions in the active site. The missing 3OH group on the primer terminus and the hydrogen atoms were added using CHARMM.48 (Details for modeling the "ideal" active-site conformation are described in Supporting Information.) The protein/ DNA complex was then solvated in a water box using PBCAID.49
Solvent ions (Na+ and Cl-) were added by replacing the water oxygen atoms with the most negative and most positive electrostatic potentials (computed using DELPHI), respectively, to neutralize the system and produce an ionic strength of 150 mM. This initial
model contains 48801 atoms, including 352 protein residues, nucleotide residues, TIP3 water molecules, 3 Mg2+,47Na+, and 28 Cl ions as shown in Figure 2a.
The solvated complex was minimized for 10 000 steps using the Steepest Descent (SD) Method followed by 20 000 steps using the Adapted Basis Newton-Raphson (ABNR) procedure.
This system was then equilibrated for 100 ps at 300 K using the Verlet integrator. These calculations were performed using CHARMM with the all-atom version c31a1 force field.
Since the QM/MM calculations are time-consuming, to reduce the computing cost and maintain the accuracy of the calculations, after equilibrating the initial simulation model, we reduced the model by removing all solvent molecules (water and ions) outside of the 40 Å region of the two binding Mg2+ ions at the active site. The resulting complex retains the ionic strength of 150 mM with Na+, 6 Cl-, and 7219 water molecules. The protein and DNA were undisturbed (Figure 2b). Note that the solvent ions (Na+ and Cl-) were not placed randomly but close to where the most negatively charged and most positively charged regions, respectively. Therefore, they can reduce the polarization effect of the MM part on the QM subsystem compared to the situation where no ions are added to neutralize the charges on DNA and protein residues. In addition, since all the solvent ions are fixed at the initial positions during the QM/MM simulations, the polarization caused by these ions is further minimized.
The protonation states of the catalytic residues at the active site, namely Asp7, Asp105, and Glu106, were predicted using the MCCE program. The calculations suggest that their carboxylate sidechains are not protonated before the chemical reaction, each bearing a -1 charge. The triphosphate of the incoming dCTP is dominantly unprotonated under neutral pH according to the pKa of H(dCTP)3- (approximately 6.5255) and carries a -4 charge. All Lys and Arg residues outside of the active site were assigned +1 charge whereas Asp and Glu residues were assigned -1 charge according to the pKa values of their titratable sidechains.
QM/MM Calculations. We utilize the combined QM/MM approach53,56,57 implemented in the CHARMM program coupled with GAMESS-UK (an ab initio molecular electronic structure program)58 to describe the chemical reaction and protein environ- ment as in ref 26. The QM methods in GAMESS-UK are used to treat the catalytic core of the Dpo4/DNA complex. This region
Figure 2. (a) Initial simulation model of the solvated Dpo4/DNA/8-oxoG:dCTP complex. (b) Reduced model of the Dpo4/DNA/8-oxoG:dCTP complex. All atoms within 15 Å of any QM atom are freely optimized during the minimizations, except for the restraints imposed to follow the reaction pathway. Atoms between 15 and 20 Å of any QM atom are semiconstrained and atoms beyond 20 Å are fixed in their original positions. In both models, the Dpo4 protein and its binding DNA are shown in red cartoon representation; the sodium, chloride, and magnesium ions are rendered as yellow, light blue, and green spheres, respectively; the incoming dCTP is shown by bonds, and solvent water molecules are shown by gray lines
contains 52 atoms, including the three carboxylate sidechains (Asp7, Asp105, and Glu106), the two binding Mg2+ ions, the incoming nucleotide dCTP, DNA primer terminus, and four water molecules coordinating the catalytic Mg2+ ion and the incoming dCTP. The remaining molecular system is treated with the MM method in CHARMM. Since the boundary between the QM and MM regions cuts through covalent bonds, the single link atom approach, where the link atoms are taken as hydrogen atoms, is used to saturate the valence of the QM atom at the QM/MM interface.59,60 The interface is positioned at the CR-Cf bond of the amino acids, the C5-C4 bond of dCTP, and along the C2-C1 and C4-C3 bonds of the terminal DNA primer. They were constrained to be colinear along the QM/MM bond vector and placed at a fixed distance from the QM atom.
In the QM/MM calculations, all atoms within 15 Å of any QM atom are unconstrained and allowed to move freely. Atoms away from any QM atom are semiconstrained with a harmonic force constant of 5.0 kcal/mol/Å2 and atoms further than 20 Å are fixed in their initial positions throughout the simulations. To identify the favorable reaction pathways and the intermediate structures along each reaction path, we implement several constraints in the energy minimization procedure. Harmonic constraints with force constants K)350.0 kcal/mol/Å2 are applied along the proton transfer path (O ••• H ••• O), while force constants of K ) 2000.0 kcal/mol/ Å2 are used to restrain the O3-PR and O3A-PR bond distances (these distances are indicative of the bond formation and bond breaking processes) during the nucleotidyl-transfer reaction. A series of constrained minimizations was conducted in which the forming bond distance was reduced by a step size of 0.1 Å while the breaking bond distance was increased with the same step size. All other internal degrees of freedom were unconstrained during the minimizations. Full geometry optimiza tions were also performed for the reactant and product states with no constraints.
The Hartree-Fock61 (HF) method with a relatively small basis set 3-21G was used to identify possible reaction paths using
Figure 3. The catalytic sites of Dpo4 in the optimized (a) and the crystal state models (b). QM atoms are enclosed in the black circles. The missing 3OH of the primer terminus was added using CHARMM in both models. The critical distances, namely O3-Mg2+ (cat.), Mg2+ (cat.)-O2A, and PR-O3(in Å) are shown by dashed lines and labeled in red.constrained minimization. The optimal reaction pathways were reoptimized using Density Functional Theory (DFT) at the B3LYP/6-31G*62,63 level. The identified favorable reaction paths were also driven backward to check for convergence. Results show that the forward and backward pathways converge. We expect an error bar of approximately 1.5 kcal/mol due to the limited sampling spaces.
Results
In the model constructed according to the "ideal" geometry18,35,44 (see Supporting Information for details), after minimization and equilibration, the critical distances for the chemical reaction, specifically, O3-Mg2+ (cat.), Mg2+ (cat.)-O2A, and PR-O3, were reduced to 2.30, 1.96, and 3.08 Å, respectively (Figure 3a). The O3H proton does not form a hydrogen bond with O5, O2R, or water molecules, as found in other cases,26,27 but instead points to the opposite direction of the metal-ligand bond between O3 and Mg2+ (cat.). The catalytic Mg2+ coordinates with three carboxylate oxygen atoms on Asp7, Asp105, and Glu106, O1A on PR of dCTP, primer terminus O3, and a water oxygen atom. Using the optimized model, we explored all
a Arrows show the direction of proton transfer from O3-hydroxyl through the mediating water molecules (WAT5, WAT73, and WAT2) to the leaving pyrophosphate, as well as the direction of nucleophilic attack by O3 at the R-phosphate.possible reaction pathways starting with O3H deprotonation to the formation of the pyrophosphate leaving group. The possible acceptors for O3H proton considered in our calcula- tions include the phosphate oxygen atom (O1A) on the incoming dCTP, carboxylate groups of the catalytic residues (Asp105 and Glu106), and nearby water molecules coordinating the catalytic Mg2+. In addition, as mentioned earlier, we also quantitatively estimated the effect of active-site distortions on the chemical reaction pathway and energy barriers, pertaining to the concept of "pre-chemistry" reorganization,40 by performing QM/MM calculations on another Dpo4/DNA complex model taken from the crystal structure15 where the active site region was not optimized to an "ideal" configuration.
I. Chemical Reaction Pathways Explored for the Dpo4/ DNA Complex with Optimized Active-Site Geometry. Water-Assisted Deprotonation. Applying the constrained mini- mization protocol, which decreases the distance between the O3H proton and the WAT5 oxygen while increasing the O3••• H bond distance with a step size of 0.1 Å, we derived the reaction path for proton transfer from O3 to a nearby water molecule (Scheme 1). Interestingly, the initial O3H deproto- nation triggers a second proton transfer from WAT5 to a hydrogen-bonding water (WAT73). The extra proton on WAT73 then quickly hops to O1A of PR (Intermediate I in Figures 4 and 5). The proton transfer steps from O3H to WAT5 and then to WAT73 are concerted and together overcome an overall energy barrier of approximately 20.0 kcal/mol. During proton transfer from O3H to WAT5 the distance between O3 and PR is reduced to 2.64 from 3.09 Å. The second proton transfer from WAT73 to O1A is accompanied by an O3 ••• PR distance reduction from 2.64 to 1.96 Å. The proton on O1A then rotates
180 around the PR-O1A bond with an associated energy barrier of 3 kcal/mol and is stabilized by a hydrogen bond with a free water molecule (WAT2) (Intermediate II). This intermediate is more stable than intermediate I because of the stabilizing hydrogen bond. With O3 bearing a negative charge, it attacks PR as the PR-O3A covalent bond breaks, resulting in a pentacovalent transition state (Intermediate III), where both O3-PR and PR-O3A distances are 1.82 Å. This process costs
7 kcal/mol. The proton on O1A then transfers to an oxygen atom on Pγ via the hydrogen-bonding WAT2 by overcoming an energy barrier of 7 kcal/mol. Finally, the PR-O3A bond breaks and releases the byproduct pyrophosphate. As the distance between PR and O3A increases, the negatively charged O3A forms a new hydrogen bond with a free water molecule (WAT100, Figure 4e). This hydrogen bond stabilizes the pyrophosphate and facilitates its release.
In addition to the proton transfer route from O1A to WAT2, we tested another possible pathway, proton transfer from O1A to O3A, which is the bridging oxygen between PR and Pf and has been found to be a possible proton acceptor in pol f by Abashkin et al.26 However, we found that the energy barrier for the direct proton transfer from O1A to O3A in Dpo4 was
12 kcal/mol, making it much higher than the water-mediated route. Thus, the proton transfer via a hydrogen-bonding water is a more favorable path.
Phosphate-Oxygen-Assisted Deprotonation. The second reac- tion pathway we examined for the same initial model starts with deprotonation of O3H to O1A on PR (see Figures 6 and 7 and Schemes 2 and 3). This reaction path was optimized by the B3LYP/6-31G* method and the energy barrier for the first proton-transfer step is approximately 25.0 kcal/mol, about 5.0 kcal/mol larger than in the pathway involving explicit water molecules. During formation of Intermediate I, the distance between O3 and PR decreases from 3.10 to 2.68 Å. The proton on O1A rotates around the PR-O1A bond by crossing an energy barrier of 2.5 kcal/mol and forms a hydrogen bond with a free water molecule (WAT2) (Intermediate II). The O3 group then initiates a nucleophilic attack on the PR, producing the classic trigonal-bipyramidal configuration of PR with both O3-PR and PR-O3A bond distances of 1.80 Å (Transition state). The energy barrier for achieving this state is 7 kcal/mol. Finally, the PR-O3A bond breaks as the proton on O1A transfers to WAT2 and then to O2G on Pγ, resulting in the formation of the pyrophosphate group. The final proton transfer crosses an energy barrier of 8 kcal/mol.
After the bond breaks between PR and O3A, a free water molecule (WAT100, Figure 6e) forms a hydrogen bond with O3A as in the water-assisted pathway (Figure 4e). This stabilizes the pyrophosphate and speeds up its release together with the nucleotide-binding Mg2+.
Initial Deprotonation via Catalytic Aspartic Acid Residues. The other proton transfer routes we explored involve active-site carboxylate sidechains as the general base. Using constrained minimization, we first tested proton transfer to Asp105. The activation energy associated with the initial deprotonation is approximately 27.3 kcal/mol, 7.3 kcal/mol larger than that in the water-assisted deprotonation pathway. However, the protonation of Asp105 disrupts the active site geometry, particularly the coordination of the magnesium ions. The next proton hop from OD1-Asp105 to OD2-Asp105 leads to a less stable system with 20 kcal/mol higher in energy. In addition, the energy barrier for bond formation and breaking between O3 and PR-O3A becomes forbiddingly large (e.g.,>40 kcal/mol). Thus, we conclude that the Asp105-assisted deprotonation is not viable
Figure 4. Intermediates along the water-assisted deprotonation pathway, where two explicit water molecules abstract the O3H proton and transfer it to O1A of the incoming dCTP. (a) Initial reactant state (the two water molecules involved in abstracting the O3H proton are circled with dashed blue lines); (b) intermediate I, proton on O1A; (c) intermediate II, proton rotation around O1A-PR; (d) intermediate III, pentacovalent PR; (e) product state.
Figure 5. Energy profile for the transient intermediates identified in the water-assisted deprotonation reaction pathway (labeled corresponding to Figure 4).
Constraining O3H proton to Glu106, which serves as the general base, we found that the energy profile is irregular, and a protonated Glu106 is highly unstable. This suggests that Glu106 is not a favorable proton acceptor. Furthermore, since Asp7 is more than 4 Å away from the 3-hydroxyl group and the Mg2+ (cat.) is in the middle coordinating both of them, a direct proton transfer from O3H to Asp7 seems unlikely.
II. Chemical Reaction Pathways Explored for the Dpo4/ DNA Complex with Crystal State Geometry. Starting with the ternary closed crystal structure of the Dpo4/DNA complex with
8-oxoguanine opposite a correct incoming nucleotide,15 we built a corresponding starting model by energy relaxation (see Supporting Information for details). We first minimize the entire model system followed by reoptimization and equilibration of the active site region using the QM/MM method. The active site conformation after QM/MM equilibration is shown in Figure 3b. The catalytic magnesium ion coordinates three water molecules, Asp7 and Glu106 carboxylate oxygen atoms, and a phosphate-oxygen on the primer terminus. The nucleotide- binding magnesium coordinates with three phosphate oxygen atoms, a carbonyl oxygen from Phe8, and two carboxylate oxygen atoms from Asp7 and Asp105. There are two extra solvent water molecules binding the Mg2+ (cat.) in the crystal state model compared to the ideal active site conformation (Figure 3a). This might arise from the large distance between the primer hydroxyl group and the catalytic Mg2+ as well as between O3H and the triphosphate group of the incoming dCTP. In this optimized structure, the O3-Mg2+ (cat.), Mg2+ (cat.)-O2A, and PR-O3 distances are 5.22, 3.38, and 5.22 Å, respectively (compared to about 2.30, 1.96, and 3.08 Å in the near-chemistry state).
We explored the possible reaction pathways from this crystal- derived model (Figure 3b) for initial O3H proton transfer to nearby water molecules, to Asp105 and Glu106, and to O1A of the incoming dCTP using the constrained minimization protocol. However, none of these calculations yielded a favor- able reaction path. The resulting energy barriers for the deprotonation and bond making and breaking steps are ex- tremely large (e.g., > 60 kcal/mol). After careful examination of the simulation trajectories, we found that the two water molecules (WAT3 and WAT5) binding Mg2+ (cat.) are not in favorable conformation to either accept the O3H proton or transfer it to other functional groups. More important, their presence hinders the rearrangement of the catalytic site during
Figure 6. Intermediates along the phosphate-oxygen-assisted reaction pathway, where O1A of the incoming dCTP functions as the general base to abstract the O3H proton. (a) Reactant state; (b) intermediate I, proton on O1A; (c) intermediate II, proton rotation around O1A-PR; (d) intermediate III with a pentacovalent PR; (e) product state.
Figure 7. Energy profile for the transient intermediates identified in the phosphate-oxygen-assisted reaction pathway (labeled as in Figure 6).the nucleophilic attack of O3 on PR. Since the coordination of Mg2+ (cat.) with O3 and the R-phosphate moiety from dCTP can bring the two groups together and stabilize the transition state, we regenerated the reaction pathways by removing WAT3 and WAT5, which impede the catalytic magnesium ion's binding of O1A and O3. In the resulting complex, the Mg2+ (cat.) coordinates the remaining water molecule (WAT4), Asp7, Glu106, and the phosphate oxygen on the primer terminus. The subsequent equilibration and constrained minimization for O3H proton transfer to Asp105, Glu106, and O1A on PR yielded a favorable mechanism for the proton transfer to O1A.
The energy barrier associated with proton transfer to O1A is approximately 29 kcal/mol (Intermediate I in Figures 8 and 9). Intermediate I, where O1A is protonated, closely resembles Intermediate I in the phosphate-oxygen-assisted deprotonation pathway identified from the optimized system (Figure 6b). Here,
Scheme 2. Schematic Representation of thePhosphate-Oxygen-Assisted Deprotonation Pathway in the
Optimized Systema
a Arrows indicate the direction of proton transfer from O3-hydroxyl directly to O1A and through WAT2 to the leaving pyrophosphate, as well as the direction of nucleophilic attack by O3 at the R-phosphate.
the catalytic Mg2+ coordinates Asp7, Asp105, Glu106, O1A-PR, and a water molecule (Figure 8b) as found in the
Scheme 3. Overall Phosphate-Oxygen-Assisted Deprotonation Pathway in the Crystal System with Imperfect Active-Site Geometryaoptimized system, except that the distance between Mg2+ (cat.) and O3 is 3.09 Å, slightly larger than a metal-ligand bond. Following the initial deprotonation, the proton on O1A then rotates around the PR-O1A bond, crossing an energy barrier of 4 kcal/mol (Intermediate II). The system becomes more stable than Intermediate I. Since there remains no free water molecule to form a hydrogen bond with the rotated proton, intermediate II is less stable than that found in the optimized system (Figure 6c). Finally, the negatively charged O3 interacts with PR and generates a covalent bond while the PR-O3A bond breaks, and the proton is transferred from O1A to O3A. The energy barrier associated with the last step is 10 kcal/mol. In contrast to the phosphate-oxygen-assisted deprotonation pathway of the opti- mized system (Figure 6), there is no free water molecule within hydrogen bonding distance of O3A after the PR-O3A bond breaks. Thus, the negative charge on the pyrophosphate is less stabilized here than in the optimized model. This difference might also contribute to the slowing release of the pyrophosphate and the higher energy barrier observed in the crystal model.
In addition to the phosphate-oxygen-assisted deprotonation pathway, we also tested proton transfer to Asp105 and Glu106. However, the energy barriers in both cases are much greater than 40 kcal/mol, and we did not pursue these pathways further.
Discussion
Our analysis of possible nucleotidyl-transfer reaction path- ways for nucleotide insertion in Dpo4 includes the reaction path initiated by proton transfer from O3H to explicit water molecules as well as that to oxygen atoms on PR and to the carboxylate side chains of the catalytic protein residues (Asp105 and Glu106). Our results show that the most favorable reaction path in Dpo4 involves initial deprotonation of O3H to nearby water molecules, and the associated overall energy barrier is 20.0 kcal/mol. Another less viable reaction path is through deprotonation to the phosphate oxygen on PR with an overall energy barrier of 25.0 kcal/mol. The difference underscores the mediating effect of the bridging water molecules to lower the energy barrier for proton hopping by approximately 5 kcal/mol. We deem the other reaction pathways involving initial depro- tonation to the catalytic carboxylate residues (Asp105 and Glu106) unfavorable.
In the identified reaction pathways of Dpo4, the rate-limiting energy barrier stems from the initial deprotonation rather than the critical bond making and breaking between O3 and PR and O3A. A similar rate-limiting step was found for pol f by Radhakrishnan and Schlick and by Alberts et al.,24,26 while the QM/MM study by Lin et al.25 suggests that the nucleophilic attack on the PR by O3 is rate-limiting for pol f. The initial deprotonation in pol f by explicit water molecules requires less energy than in Dpo4 (15.0 vs 20.0 kcal/mol),26 and this energy difference (∼5.0 kcal/mol) might be related to the lower efficiency of nucleotide insertion in Dpo4 compared to pol f. Specifically, the pathway in pol f is initiated by O3H deprotonation to nearby water molecules; the proton then hops to the catalytic side chains of Asp192 and Asp190 as the O3-PR bond forms and PR-O3A breaks, and finally the proton reaches the γ-phosphate of the incoming dCTP.24,26 In contrast, the water-assisted pathway in Dpo4 first transfers the O3H proton from two bridging water molecules to O1A, and then the proton hops to the γ-phosphate of the incoming dCTP as the bonds form (O3-PR) and break (PR-O3A).
As known from the crystal structures, Dpo4 has a more open active site than pol f; this additional space leads to more prominent solvation effects on the active site of Dpo4 that can slow down the chemical reaction. This might explain the higher chemical reaction energy barrier in Dpo4 than pol f. Further- more, the frequent water shuffling within Dpo4's active site can trap the deprotonated O3H proton among water molecules. This can lead to formation of local energy minima that may reduce the efficiency of the chemical reaction.
Although the water-assisted reaction pathway identified in our work is similar to what was found by Wang et al.,28 our results show that the initial O3H deprotonation can be mediated by two water molecules rather than one. Indeed, different numbers of water molecules participating in the chemical reaction are natural in the enzyme environment. Since Dpo4 has a spacious active site compared to other higher-fidelity DNA polymerases, water molecules are expected to constantly migrate in and out of the active site; water-assisted proton transfer might adopt different forms when different numbers of water molecules are present. In simulations, water molecules can migrate to the catalytic site and form a hydrogen bond with the water molecule coordinating the catalytic magnesium ion and O1A on PR during equilibration. Furthermore, the similarity between the chemical reaction mechanism obtained for the 8-oxoG:C nascent basepair and that of the G:C basepair28 shows that the presence of an oxidative lesion (8-oxoguanaine) at the active site does not affect the magnitude of the chemical reaction barrier.
With our starting model based on the crystal structure, the catalytic site, especially the coordination of the two magnesium ions, is not in an ideal conformation to start the chemical reaction. This more realistic initial state is important for understanding Dpo4's complete conformational and chemical pathways and hence relevant functional mechanisms.44 From this geometry, we identified one possible reaction pathway after removing two water molecules binding the Mg2+ (cat.) since
Figure 8. Intermediates along the reaction pathway in the crystal model where proton abstraction occurs directly to O1A of the incoming dCTP. (a) Reactant state after removing the two water molecules from the active site (the critical distances (Å) of Mg2+ (cat.)-O2A, Mg2+ (cat.)-O3, and O3-PR are shown by dashed lines and labeled in red); (b) intermediate I, proton on O1A; (c) intermediate II, proton rotation around O1A-PR; (d) product state.
Figure 9. Energy profile for the transient intermediates identified in the phosphate-oxygen-assisted reaction pathway of the crystal system (labeled as in Figure 8).this allowed the active site to reorganize as needed. In our pathway, the catalytic magnesium ion migrates toward the primer terminus and coordinates the phosphate oxygen (O2A) on PR of dCTP and Asp105 as found in the optimized system with ideal active-site geometry (Figure 3a) during the depro- tonation of O3H. Then another phosphate oxygen (O1A) on PR functions as the general base to remove the O3H proton. The initial deprotonation accompanied by active-site reorganiza- tion overcomes an energy barrier of 29 kcal/mol. The O1A proton then migrates to O3A, resulting in the formation of the pyrophosphate moiety.
Compared to the water-assisted and phosphate-oxygen- assisted deprotonation pathways obtained from the model with ideal active-site geometry, the chemical reaction in the crystal state model has an activation energy barrier that is 9.0 and 4.0 kcal/mol higher in magnitude, respectively. The reaction in the crystal system can start by proton transfer from O3H to O1A (a phosphate-oxygen-assisted deprotonation pathway), followed by proton rotation around O1A and the bond forming/breaking process between O3 PR, and O3A. As the O1A proton is
Figure 9. Energy profile for the transient intermediates identified in the phosphate-oxygen-assisted reaction pathway of the crystal system (labeled as in Figure 8).
this allowed the active site to reorganize as needed. In our pathway, the catalytic magnesium ion migrates toward the primer terminus and coordinates the phosphate oxygen (O2A) on PR of dCTP and Asp105 as found in the optimized system with ideal active-site geometry (Figure 3a) during the depro- tonation of O3H. Then another phosphate oxygen (O1A) on PR functions as the general base to remove the O3H proton. The initial deprotonation accompanied by active-site reorganiza- tion overcomes an energy barrier of 29 kcal/mol. The O1A proton then migrates to O3A, resulting in the formation of the pyrophosphate moiety.
transferred to O3A, the pyrophosphate group forms and is released. Since the starting conformations for the two phosphate- oxygen-assisted deprotonation pathways differ in the coordina- tion of the catalytic magnesium ion, the difference in their associated energy barriers suggests that the reorganization of the catalytic site prior to the chemical reaction, namely the "pre- chemistry" avenue,44 requires approximately 4 kcal/mol. For the chemical reaction to occur through the water-assisted deprotonation pathway, one or two solvent water molecules must enter the active site and favorably bridge the 3-hydroxyl and O1A-PR. The water-mediated deprotonation (Figure 5) can lower the overall reaction barrier by 9.0 kcal/mol relative to the pathway started from the crystal state. From the crystal conformation, although there are three water molecules coor- dinating the catalytic magnesium ion (Figure 3b), because the distance between 3-hydroxyl and PR (4.72 Å) is much greater than the ideal value (3.08 Å), none of these water molecules is in the right conformation to transfer proton from O3H to O1A. Note that the obtained energy barriers for the "pre-chemistry" avenue are tentative (see also ref 32) as they are estimated based on the potential energy profiles of two single states (i.e., a crystal state and an "ideal" state) and no sampling was performed to calculate the free energies. However, results agree with extensive other studies using dynamics simulations. Certainly, future computational works delineating the free energy profiles of the "pre-chemistry" and chemistry avenues together with clever experiments are necessary to fully confirm our findings.
In sum, our results suggest that properly oriented water molecules in the active site play critical role in Dpo4's chemical reaction. In fact, they can both act to mediate the reaction pathway (as from the optimized system, where two water molecules function as a bridge to extract the O3H proton and transfer it to O1A on the R-phosphate of the incoming dCTP), or to hinder active-site reorganization when the water molecules are not in favorable conformation to assist the protein transfer (as we found from simulations near the crystal state). Thus, for Dpo4, the pre-chemistry rearrangements depend on the environment where active-site tightening for the chemical step is crucial. Like the conformational changes prior to chemistry and the chemical reaction itself, the pre-chemistry avenue represents another important kinetic checkpoint in Dpo4's overall catalytic cycle.
Acknowledgment. We thank Dr. Ian L. Alberts for helpful discussions. This work was supported by NSF grant MCB-0316771, NIH grants R01 GM55164 and R01 ES012692, and the donors of the American Chemical Society Petroleum Research Fund to T. Schlick. Research described in this article was supported in part by Philip Morris U.S.A. Inc. and Philip Morris International. Computing facilities provided by the NCSA supercomputer center and the Advanced Biomedical Computing Center at NCI-Frederick are highly appreciated.
ASIGNATURA: EES
Wilson I. Arellano.
Extraido de: www.biomath.nyu.edu/index/papdir/fulllengths/2008JAmChemSoc40.pdf
lunes, 8 de febrero de 2010
La lógica cuántica
| Durante mucho tiempo no hubo grandes modificaciones en el concepto que el hombre tenía acerca de la naturaleza de la materia, pero a fines del siglo XIX aparecieron indicios de que se avecinaba un gran cambio, una de cuyas primeras manifestaciones ocurrió en 1897. J. J. Thompson, físico inglés, se encontraba investigando el poco antes descubierto tubo de rayos catódicos. Este consiste en un tubo de vacío dentro del cual se puede generar un intenso campo eléctrico por medio de dos electrodos. En cuanto se enciende el campo puede observarse que del cátodo (electrodo positivo) se desprenden unos misteriosos rayos que surcan el tubo en dirección al ánodo (electrodo negativo). Al principio se pensó que estos rayos eran ondas electromagnéticas (de ahí el nombre) pero Thompson notó que sufrían desviaciones en presencia de campos eléctricos y magnéticos, por lo que supuso, correctamente, que estaban compuestos de partículas con carga negativa a las que llamó electrones. A causa de que estas partículas debían provenir necesariamente de los átomos del cátodo, el descubrimiento del electrón acabó con la antigua idea de la indivisibilidad atómica. | ||
| Los nuevos átomos parecían ser estructuras complejas y en absoluto indestructibles, sin embargo conservaron su nombre, quizás inadecuado pero bastante sonoro. Claro, era un hecho conocido que los átomos eran eléctricamente neutros, por lo tanto si en su interior existían partículas negativas como el electrón, debía existir también una cantidad igual de carga positiva, pero ¿dónde y cómo?. En 1898 Thompson postuló lo que hoy se conoce como el modelo de la"torta de ciruelas" (o plum cake model). Según él, los electrones existían dentro del átomo como ciruelas (negativas) incrustadas en una masa esférica de carga positiva. Como es lógico, este modelo teórico necesitaba verificación experimental, pero ¿cómo hacerlo si era imposible ver un átomo?. | 
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| La respuesta a esta pregunta la encontraron, en 1909, Ernest Rutherford, Ernest Marsden y Hans Geiger, al realizar el experimento que los hizo famosos (al menos entre sus amigos) y que es conocido como experimento de la lamina de oro. Aquí permítanme extenderme un poco, ocurre que el experimento de Rutherford es buen ejemplo de uno de los métodos de investigación de la materia que ha resultado más fructífero. Es el llamado scatteringy se utiliza aún hoy. La idea es sencilla: disparo proyectiles sobre lo que quiero investigar y observo su comportamiento; algunos pueden rebotar, otros atravesar el objeto y desviarse en algún ángulo, o eventualmente no desviarse en absoluto. |
| La forma en que se comporten los proyectiles luego del impacto me dará información sobre la naturaleza del objeto1. Parece un poco violento, pero ha mostrado ser muy eficaz y aclaremos que los proyectiles son, por lo general, partículas subatómicas. El experimento de Rutherford consistió en bombardear una hoja muy delgada de oro con partículas alfa2, colocando un detector detrás de la placa para captar aquellas partículas que lograran llegar al otro lado. Si los átomos respondían al modelo de la torta, no había muchas posibilidades de que una partícula alfa fuera significativamente desviada al tratar de atravesar la hoja ya que las cargas positivas y negativas estarían muy extendidas y la fuerza electromagnética total que sufriría sería débil. Sin embargo, resultó que si bien muchas de las partículas pasaban como si la hoja no existiera, algunas (un numero importante) eran desviadas en ángulos muy grandes (figura 1). Rutherford reflexionó, y llegó a la conclusión de que el modelo de Thompson no podía ser correcto y que sus resultados solo eran compatibles con un átomo donde la mayor parte de la masa estuviera concentrada en un pequeño núcleo. En 1911 dio a conocer el famoso modelo del sistema solar (único compatible con los resultados experimentales) donde los átomos estarían constituidos por un núcleo positivo muy masivo y electrones negativos girando a su alrededor como lo hacen los planetas en torno al Sol. | 
| |
| Este descubrimiento era realmente auspicioso, mostraba una simetría entre lo grande y lo pequeño que hacia suponer que todo lo descubierto en la mecánica de lo macroscópico era aplicable sin problemas a lo microscópico. Note que esta es probablemente la imagen que tiene usted de un átomo, es decir, ¿por qué no terminar la historia aquí?. Ocurre que apareció un problema... | ||
El colapso atómico En 1864 James Clerk Maxwell publica sus famosas ecuaciones que constituyen la teoría clásica del electromagnetismo y son válidas también en nuestros días. Estas ecuaciones estaban fuertemente respaldadas por la experimentación (en otro artículo relato su influencia sobre la teoría de relatividad de Einstein). Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell consistía en que una partícula cargada que se moviera con aceleración debía emitir radiación electromagnética. ¿Que significa que una partícula se mueva con aceleración?. Aceleración es el cambio en la velocidad. La velocidad puede representarse como un vector, es decir, una flecha que posee una longitud (proporcional a la rapidez) y una dirección (hacia la que se mueve el objeto). Entonces el cambio en la velocidad puede producirse al variar la rapidez (lo que normalmente llamamos acelerar o frenar, ir más rápido o más lento respectivamente) que equivaldría a cambiar la longitud del vector o al variar la dirección del movimiento (cambiar la orientación del vector). Ahora bien, si un electrón gira alrededor del núcleo la rapidez puede no estar cambiando (tendría un movimiento circular uniforme) pero la dirección de la velocidad cambia constantemente. Es decir que un electrón debe estar necesariamente acelerado al recorrer su órbita. | ||
Este tipo de aceleración donde no existe cambio en la rapidez pero sí en la dirección se llama centrípeta. Entonces, según las ecuaciones de Maxwell, los electrones debían estar emitiendo radiación electromagnética constantemente. Esto creaba una seria objeción al modelo de Rutherford. Lo que ocurre es que la radiación emitida porta consigo parte de la energía del emisor, si un electrón está constantemente emitiendo entonces debe estar perdiendo energía constantemente también, pero si pierde energía su órbita no puede mantenerse y en lugar de describir un circulo debería caer en espiral hacia el núcleo. Dicho de otro modo, si esto fuese cierto todos los átomos del universo colapsarían rápidamente. Como esto no ocurre (por suerte) algo debía estar fallando en algún lado. | 
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| En 1900 el físico alemán Max Planck se encontraba investigando la emisión de radiación por sólidos. Alguna vez habrá notado que si pone un alambre en el fuego este se calienta y al retirarlo sigue emitiendo calor (radiación electromagnética infrarroja). Es más, el alambre puede volverse rojo y aún blanco si la temperatura es lo suficientemente alta. Esto es, el cuerpo al calentarse puede emitir luz (radiación electromagnética visible). ¿De donde sale esta radiación?. Podemos explicar este fenómeno recurriendo, nuevamente, a lo que sabemos sobre las ecuaciones de Maxwell. | ||
| Cuando la materia se calienta todos los átomos, moléculas y demás partículas que la constituyen se mueven desordenadamente y más rápido cuanto más alta es la temperatura; según lo que vimos antes, el movimiento acelerado de las partículas cercanas a la superficie del objeto debe producir emisión electromagnética (claro, al retirar el objeto del fuego, como las partículas siguen emitiendo energía, se desaceleran y comienza a enfriarse). En realidad todos los cuerpos, no importando su temperatura, emiten esta radiación, lo que ocurre es que deben estar suficientemente calientes para emitir luz visible. El problema al que estaba abocado Planck consistía en que si se aplicaban las ecuaciones de Maxwell a la materia, tal como se la concebía en ese entonces, resultaba que un cuerpo debía emitir la misma cantidad de radiación en todas las frecuencias. |
| Esto no podía ocurrir porque entonces la cantidad de energía emitida tendría que ser virtualmente infinita. Y, lo que podría ser peor, si un objeto caliente emitiera con la misma intensidad en todas las frecuencias entonces todos los objetos calientes se verían blancos, y esto no es lo que se observa en la vida real. Utilizando la teoría clásica los físicosRayleigh y Jeans calcularon rigurosamente el espectro teórico de emisión térmica (espectro es un gráfico o formula que muestra la relación entre intensidad y frecuencia o longitud de onda de la radiación3) (figura 2). Pero, por desgracia, el espectro experimental que se obtenía al calentar diversos materiales no guardaba ninguna relación con este espectro teórico. | ||
| Si bien en ambos casos las intensidades para longitudes de onda largas coincidían bastante bien, las mediciones experimentales mostraban que la radiación emitida alcanzaba un pico para una dada longitud disminuyendo luego en longitudes más cortas, mientras que la teoría decía que ésta debía continuar creciendo indefinidamente al hacerse mas corta la longitud de onda (esta diferencia recibió el pintoresco nombre de "catástrofe ultravioleta"). La solución que propuso Planck fue muy astuta. Primero encontró, por tanteo, la formula matemática que mejor reproducía el espectro experimental y luego dedujo las hipótesis que eran necesarias para obtener esa formula analíticamente. Encontró que la única hipótesis que necesitaba era que la energía en forma de radiación debía ser emitida o absorbida solo en pequeños paquetes que llamó quanta y no en forma continua como se pensaba hasta ese momento (como podrá suponer, de aquí proviene la palabra cuántica y a esto se le llamócuantizar la energía). | 
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| También encontró cual debía ser la relación entre la energía del paquete y la frecuencia de la radiación, esta era: E = h n, donde E es la energía, n es la frecuencia y h un numero muy pequeño llamado (como corresponde) constante de Planck (h = 6.622 x 10-34 joule.seg). A pesar de la espectacular coincidencia que obtuvo Planck entre su espectro teórico y el experimental (figura 2), era claro que había sido obtenido con un truco matemático basado en una hipótesis conveniente, no existía nada hasta ese momento en la teoría que permitiera pensar que estas conclusiones podían ser verdaderas. En palabras del mismo Planck: "Puedo describir el total procedimiento como un acto de desesperación, debido a que, por naturaleza soy un hombre pacífico y opuesto a aventuras dudosas. Sin embargo ya había luchado durante seis años (desde 1894) con el problema del equilibrio entre radiación y materia sin arribar a ningún resultado exitoso. Yo era consciente de que este problema era de fundamental importancia para la física, y conocía la formula que describía la distribución de energía... por lo tanto una interpretación teórica debía ser hallada a cualquier precio, no importando cuan alto pudiera ser." | ||
Einstein al rescate Entre tanto (esto parece una novela por episodios) muchos físicos se hallaban investigando el efecto fotoeléctrico. ¿Que es el efecto fotoeléctrico?. Es un fenómeno descubierto en 1888 por el físico alemán Heinrich Hertz que se manifiesta cuando un rayo de luz incide sobre una superficie metálica. El choque del rayo produce que se liberen electrones de la superficie. ¿Cómo explicarlo?. Bien, tendremos que hablar un poco acerca de la luz. Durante mucho tiempo existió la controversia de si la luz (o radiación electromagnética en general) estaba formada por partículas u ondas. Pero, detengámonos un momento aquí, ¿qué cosa entendemos por partícula y qué por onda?. Una partícula es un objeto "sólido" al que es posible, por lo tanto, localizar con precisión en el espacio. No importa su tamaño, aunque la palabra partícula sugiera la imagen de objetos pequeños. Un ladrillo es una partícula, un camión también así como un asteroide. Piense que cualquiera de estas cosas es un punto comparándola, por ejemplo, con un planeta, y el planeta mismo lo es si lo comparamos con el Sol. En todos estos casos, y dentro del contexto adecuado, los movimientos del objeto pueden ser estudiados como si éste fuese un punto y calcularse así, sin problemas, la velocidad, aceleración, trayectoria, etc. Una onda, en cambio, es una perturbación producida en algún medio o campo y por lo general no puede ser localizada con tanta precisión. La onda podría extenderse infinitamente por todo el espacio. En cierto modo, así como en la antigüedad la naturaleza se pensaba constituida por cuatro elementos, a fines del siglo XIX se consideraba constituida por dos: partículas y ondas. Volviendo al tema de la luz, mencionamos que existía una controversia acerca de su naturaleza. Newton, por ejemplo, fue uno de los ilustres defensores de la teoría corpuscular. Sin embargo, el problema pareció zanjado cuando Thomas Young, en 1800, realizó su famoso experimento de las rendijas que demostró la naturaleza ondulatoria de la luz (luego hablaremos del experimento de Young mas extensamente). Por desgracia el efecto fotoeléctrico creaba una seria contradicción respecto a estas conclusiones. Si la luz está constituida por ondas es fácil imaginarse una de tales ondas chocando contra un metal y desprendiendo electrones; la energía que porta la onda luminosa es proporcional, según la teoría clásica, a su intensidad, de modo que cuanto mayor sea la intensidad de la luz que incida sobre el metal tanto mayor será la velocidad con la que los electrones saldrán despedidos, y la frecuencia no debería importar en lo absoluto (si empujo un objeto con mayor energía, mayor será la velocidad que adquiera). Lo curioso es que esto no ocurría; de hecho, la velocidad con que se desprendían los electrones no parecía tener que ver con la intensidad sino con la frecuencia de la luz (recordemos que frecuencia es equivalente a color). Por otro lado se calculó el tiempo que tardaría un electrón en adquirir la energía necesaria para salir despedido de la superficie del metal debido al choque con una onda y resultó ser sumamente largo (del orden de los minutos), este retraso no era observado en el laboratorio. Albert Einstein era uno de los tantos físicos que soñaba con desentrañar este misterio | ||
| Cuando se enteró de la hipótesis de Planck gritó ¡Eureka!, o quizás no, pero la cuestión es que la tomó muy en serio y en 1905 propuso una nueva teoría del efecto fotoeléctrico. Einstein supuso que la luz estaba formada por pequeñas partículas (quanta) llamadas fotones. La energía de cada uno de estos fotones debía cumplir con la ecuación de Planck. Postuló también que en el proceso fotoeléctrico era absorbido por cada electrón un fotón completo. Basándose en esto la explicación de Einstein era sencilla y lógica: si se hace incidir un rayo de luz sobre una superficie metálica y se aumenta la frecuencia de la luz manteniendo la intensidad constante, aumenta también la energía individual de cada fotón (en la ecuación de Planck la energía es proporcional a la frecuencia) y los electrones serán despedidos entonces a mayor velocidad. | 
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| Si, en cambio, se mantiene la frecuencia constante aumentando la intensidad, la velocidad de los electrones despedidos no variará pero aumentará su numero porque el numero de fotones también habrá aumentado. Además, debido a que un electrón absorbe un fotón completo, recibe toda la energía del fotón instantáneamente, de manera que no aparece ningún retraso. En 1916 R. A. Millikan realizó una serie cuidadosa de experimentos sobre el efecto fotoeléctrico confirmando las conclusiones teóricas de Einstein. Este descubrimiento le valió a nuestro héroe el premio Nóbel de física4 y fue la confirmación que la teoría de Planck necesitaba. | ||
El átomo de Bohr Pero este cuento comenzó porque el modelo de Rutherford no funcionaba. El danés Niels Bohr estaba muy preocupado por este tema, cuando se enteró de los trabajos de Planck y Einstein pensó que allí podía estar la respuesta que buscaba. Por fin, en 1913 la encontró. Utilizando de un modo un tanto extraño la hipótesis de Planck, modificó el modelo de Rutherford y concibió una nueva imagen del átomo. Para entender los alcances de esto primero tendremos que contar algunas cosas sobre la dinámica de objetos en órbita. Cuando un satélite está en órbita alrededor de la Tierra a una altura cualquiera, su velocidad está automáticamente fijada por el radio de la órbita. Lo que quiero decir con esto es que, según las leyes de Kepler5, que son las que rigen estos movimientos, a un dado radio de órbita corresponde una y solo una velocidad. Es posible (suponiendo que no existiera rozamiento con el aire) poner un objeto en órbita a, digamos, 10 metros de altura, siempre y cuando le demos la velocidad correcta (y limpiemos el camino que va a recorrer, claro). | ||
| Entonces, no puede ocurrir que algo se encuentre en órbita a cualquier velocidad, solo puede hacerlo a la velocidad prefijada por el radio de su órbita. Un satélite es retenido en órbita por la fuerza de gravedad que el planeta ejerce sobre él; un electrón, en cambio, gira en torno al núcleo debido a la fuerza electromagnética que existe entre ambos. Sin embargo, la gravedad y el electromagnetismo son muy similares, porque ambas son fuerzascentrales (apuntan hacia el centro) y su intensidad varía como la inversa del cuadrado de la distancia, de modo que las leyes de Kepler son validas también para electrones, entonces la velocidad de un electrón en su órbita también debe estar prefijada por su radio. | |
La órbita de un objeto cualquiera se puede caracterizar por una cantidad llamada impulso angular orbital (L) que mantiene un valor constante durante todo el movimiento (el impulso angular es una de las tantas constantes de movimiento). El impulso angular en su forma mas simple es: L = m r v, donde m es la masa del objeto, r el radio de la órbita y v la velocidad. Bohr postuló que el movimiento del electrón debería responder a las leyes de la mecánica clásica pero incluyó en su modelo la restricción extra de que al orbitar el núcleo solo podría poseer un impulso angular que fuera múltiplo entero de h dividido por 2p (L = n h/2p, siendo n un numero natural). Esto implica que un electrón no puede tener órbitas de cualquier radio ni moverse a cualquier velocidad, sólo las tendrá con aquellos radios y velocidades compatibles con esta relación. Cada órbita estará caracterizada sólo por el numero natural n (1, 2, 3...). Además añadió dos cláusulas: que el electrón no radiaría energía electromagnética al orbitar el núcleo y que sólo podría hacerlo al pasar de una órbita a otra discontinuamente. Estos postulados, por supuesto, no podían ser deducidos de la física clásica. Eran una extraña mezcla entre física clásica y no clásica. Por supuesto usted podría argumentar: ¿Acaso no era un problema serio que un electrón emitiera radiación en su órbita?, ¿el problema se soluciona, entonces, postulando que no lo hace?, ¿es tan sencillo?. Y tendría razón, no es tan sencillo. Hasta ese momento no había ningún indicio teórico que justificara los postulados de Bohr, sin embargo, su modelo explicaba cuantitativamente varios resultados experimentales que habían sido incomprensibles hasta ese momento. Por ejemplo, en párrafos anteriores mencionamos el espectro. Determinar el espectro producido por una sustancia es fácil, basta con hacer pasar la luz emitida a través de un prisma (o red de difracción). El prisma descompone esta luz en los distintos colores que la constituyen y cada color corresponde a una frecuencia. La emisión producida por sólidos calientes (la que estudiaba Planck) es continua, es decir que, con intensidad variable como vimos, el cuerpo emite en todas las frecuencias. Por lo tanto el espectro que se obtiene es una especie de mancha donde cada color va cambiando y convirtiéndose en otro sin observar limites definidos entre ellos (mas o menos como el arco iris). Ahora bien, supongamos que sometemos un gas a una descarga eléctrica. Los átomos del gas pueden adquirir energía de esta descarga y pasar a lo que se llama estado excitado. Estos estados son inestables porque cualquier sistema físico tiende siempre a volver a su estado de energía mas bajo, de manera que cuando vuelven a su estado anterior deben expulsar el exceso de energía y lo hacen en forma de luz. Lo interesante es que el espectro obtenido de un gas no es continuo como el de un sólido, consiste de una serie de líneas de color separadas6 por espacios vacíos. En la época de Bohr se habían determinado experimentalmente con bastante precisión algunas líneas del espectro del hidrógeno (la serie de Balmer) pero no se había hallado una explicación para su aspecto. El modelo de Bohr logró un triunfo espectacular al explicar la serie de Balmer con gran exactitud y predecir la aparición de otras líneas, que fueron descubiertas experimentalmente luego. El problema mas serio del modelo de Bohr era, de alguna manera, filosófico. La mezcla de una teoría clásica con una serie de postulados extraños no era coherente. Por otro lado, ¿por que cuantizar el impulso angular y no la energía, como lo hacia Planck?, ¿y que significaba la frase "pasar discontinuamente a otra órbita"?, ¿acaso un electrón podía desaparecer de un lugar y aparecer en otro mágicamente?. No se podía entender por qué los electrones debían actuar así y, para cualquier físico que se respete, no entender algo resulta bastante desagradable. La teoría expuesta hasta aquí, es lo que actualmente se llama antigua teoría cuántica y, si bien como vimos, tuvo mucho éxito, se aproximaban cambios importantes en la forma de pensar. | ||
Una digresión: El experimento de Young En este punto es conveniente hacer un paréntesis en la historia (entre otras cosas porque seguramente a esta altura debe estar cabeceando). Llegó el momento de ocuparnos del experimento de Young. ¿Por que volver atrás en el tiempo?. Porque siendo extremadamente sencillo, este experimento fue uno de los hitos de la física moderna. El experimento de Young permite ver la diferencia entre una onda y una partícula. Seguramente usted estará pensando que realizar un experimento para esto es ridículo, la diferencia entre ambas entidades es obvia, pero veremos mas adelante que la cosa no es tan simple. El experimento de Young es, esencialmente, una experiencia de scattering muy simplificada. Para entender de que se trata lo repetiremos mentalmente en dos casos (los experimentos mentales son muy populares entre los físicos, no es que reemplacen a los experimentos reales pero son más baratos que estos últimos). Primero imaginemos una ametralladora montada en un dispositivo que cambia la dirección de disparo al azar. Nuestra ametralladora se encuentra delante de una pared blindada en la que se han perforado dos rendijas rectangulares. Detrás de esta pared disponemos otra pero construida con algún material absorbente (otra ventaja de los experimentos mentales es que uno dispone de cualquier material que necesite) (figura 3.a). Un proyectil puede rebotar en la primera pared, pasar limpiamente al otro lado por alguna de las rendijas o "tocar" el borde de alguna de ellas cambiando su dirección. | |
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| El objetivo del experimento es determinar donde van a parar las balas que atraviesan la primera pared. Para tener una mejor idea de los resultados podríamos dividir la segunda pared en franjas de un ancho cualquiera, contar cuantas balas se incrustan en una franja dada y construir una grafica que a cada franja le asigne una altura igual al numero de balas que fue a dar en dicha franja. Bueno, con todo dispuesto, comencemos. Lo primero que haremos será tapar una de las ranuras y disparar la ametralladora durante un cierto tiempo, el grafico que obtendremos puede verse en la figura 3.b. Por supuesto este es un grafico idealizado, se podría obtener algo así si disparáramos infinitas balas y redujéramos las franjas a un tamaño infinitamente pequeño, pero el grafico real no será demasiado diferente, es lo que en estadística se llama una curva gaussiana. Lo que nos dice este grafico es que la mayor parte de las balas pegará en puntos alineados con la ranura abierta y que cuanto más nos alejemos de ella menor será el numero de balas que encontraremos. Por otro lado, si la ranura destapada fuera la otra simplemente obtendríamos un grafico similar centrado en dicha ranura. ¿Que ocurrirá si dejamos ambas ranuras destapadas?. Veamos, una bala no puede pasar por ambas ranuras al mismo tiempo y, si pasa por una cualquiera de las ranuras, no hay razón para que influya sobre las otras balas ya que son disparadas una por una. Dicho de otro modo, si destapamos ambas ranuras deberíamos obtener las curvas gaussianas correspondientes a cada una de ellas pero superpuestas, o sea la suma de las curvas. De hecho eso es lo que se obtiene (figura 3.c). Este experimento tan sencillo nos podría servir para definir lo que es una partícula, podríamos decir que cualquier cosa que se comporte de este modo debería ser una partícula. |
| Repitamos el experimento, pero esta vez con ondas. ¿Arrojó alguna vez una piedra a un lago?. Seguramente sí; entonces debe haber observado que después del choque se forman en la superficie del agua ondas circulares concéntricas que viajan alejándose del punto de impacto. Aprovecharemos este fenómeno para diseñar nuestro aparato. Imaginemos una piscina con agua (no es necesario que sea muy profunda), en ella instalaremos un generador de ondas. Este podría ser, por ejemplo, un dispositivo que subiera y bajara a intervalos regulares golpeando la superficie del liquido. Delante del generador colocaremos un tabique con dos agujeros y detrás de este, alguna superficie que absorba las ondas sin reflejarlas (por ejemplo una playa de arena con declive suave). Esta última superficie tendrá algún sistema detector, algo que mida la altura de la onda que llega. En esencia es el mismo dispositivo que en el caso de la ametralladora (figura 4.a). La grafica que haremos en este caso tendrá como altura la intensidad de la onda en un punto dado. Ahora pongamos a funcionar el generador tapando primero uno de los agujeros. Las ondas circulares se propagan hasta llegar al primer tabique y atraviesan el agujero apareciendo del otro lado. | |
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| Observamos que la grafica que se forma es similar a la del caso con proyectiles (figura 4.b), una curva gaussiana que refleja el hecho de que la intensidad de las ondas se amortigua con la distancia, es decir que como el punto frente al agujero descubierto es el más cercano a la fuente, es allí donde van a parar las ondas de mayor amplitud mientras que para puntos más lejanos la amplitud disminuye. ¿Que ocurrirá si abrimos ambos agujeros?. La onda generada pasa por ambos agujeros al mismo tiempo y en cierto modocada agujero se convierte en un nuevo generador de ondas. El resultado es bastante espectacular y podemos verlo en la figura 4.c. ¿Que diablos es esa extraña curva que sube y baja?. Es lo que se ha dado en llamar una grafica de interferencia. Las ondas que parten de los agujeros pueden encontrarse antes de llegar al detector, si las ondas que se encuentran están en fase, es decir, una montaña se encuentra con otra montaña o un valle se encuentra con otro valle, ambas se suman y resulta una onda con el doble de intensidad. Si, en cambio, están en contrafase, una montaña se encuentra con un valle, las ondas se anulan entre sí. Por supuesto cualquier otra combinación dará como resultado ondas de distintas amplitudes. Esta distribución de amplitudes provoca que existan zonas en nuestro detector a las que prácticamente no lleguen ondas y otras donde lleguen ondas de gran amplitud distribuidas alternativamente. Esto es lo que produce el curioso grafico. Y esto es lo que ocurrirá si repetimos el experimento con cualquier tipo de onda. Entonces obtenemos una definición de onda similar a la de partícula, si la entidad con la que experimentamos produce un patrón de interferencia en el dispositivo de Young, debe ser una onda. Practico, ¿verdad?. Young realizó el experimento con luz. Proyectó el rayo de una lámpara a través de una placa con dos ranuras y observó la imagen de las ranuras en una pantalla colocada detrás de la placa (puede intentar esto en su casa, no es peligroso, pero debemos aclarar que, para que funcione y se ponga de manifiesto la naturaleza ondulatoria de la luz, el espesor de las ranuras debe ser del orden de la longitud de onda). Si la luz estuviera constituida por partículas lo que se observaría sobre la pantalla sería una zona rectangular iluminada que se haría mas tenue hacia los bordes (el equivalente a la suma de las gaussianas). Lo que Young vio en la pantalla fue una serie de bandas luminosas separadas por bandas oscuras, es decir, un patrón de interferencia típico. La luz, concluyó Young, está formada por ondas... |
¿Ahora comprende el problema? Si prestó atención hasta ahora (algo digno de admiración) no habrá dejado de notar la profunda contradicción que apareció. Cuando hablamos del efecto fotoeléctrico la explicación de Einstein, absolutamente impecable, llevaba a pensar que la luz estaba formada por partículas llamadas fotones. Por otro lado, el experimento de Young demuestra, sin lugar a dudas, que la luz está formada por ondas. ¿De que está hecha, entonces, la luz?. ¿Ondas o partículas?. ¿Está confundido?. No se preocupe, al menos se encuentra en buena compañía, este problema volvió locas a las mejores mentes del mundo en su momento. Aparentemente la luz era una entidad bastante esquizofrenica, poseía la doble personalidad de onda y partícula. Esto ponía a la física en una situación bastante incomoda. Pero claro, siempre se puede estar un poco mas incomodo... Los extraños electrones ¿Que es un electrón?. Podríamos decir que un electrón es una partícula extremadamente pequeña que tiene una masa de 9.1 x 10-31 kg y una carga eléctrica de 1.6 x 10-19Coulomb. Lo que debería quedar claro es que, aparentemente, es una partícula. Cuando era un chico fascinado por la ciencia imaginaba que los electrones eran pequeñas esferitas celestes (y, por supuesto, los protones eran negros y los neutrones blancos pero de eso hablaremos mas adelante), supongo que los imaginaba así porque los pintaron de ese color en algún libro de divulgación de los que leía a montones en esa época. Usted, claro, puede elegir el color que quiera. Pero vamos a lo importante. ¿Que ocurrirá si repetimos el experimento de Young con electrones?. Supongamos que dirigimos un haz de electrones contra una placa con dos ranuras y colocamos detrás de esta una serie de detectores tipo contadores Geiger (un contador Geiger es un dispositivo detector que emite un sonido (click) y/o un centelleo cuando es alcanzado por ciertas partículas). Lo que obtendremos para el caso de una sola ranura es lo esperado, es decir una grafica gaussiana o mas sencillamente una imagen de lucecitas con la forma rectangular de la ranura atenuándose hacia los bordes. Lo interesante aparece cuando dejamos abiertas ambas ranuras, porque obtendremos: ¡una grafica de interferencia!. Es decir, una serie de bandas luminosas separadas por bandas oscuras. Si usted es una persona complaciente (o ya está harto de todo esto) podría decir: bueno, ¿cual es el problema?, hemos demostrado que los electrones son ondas, preparo un sándwich y vamos a ver los Expedientes X. Pero alguien un poco mas inquieto (o mas difícil de convencer) podría argumentar: ¡no acepto esto! los electrones son y serán partículas, cada vez que un electrón alcanza al detector emite un click, como lo haría cualquier partícula decente, lo que ocurre es que usted con su haz de electrones seguramente provocó algún efecto extraño (quizás los electrones chocan entre si dentro del haz) produciendo esa figura que es, aparentemente, de interferencia. Bueno, si así lo desea, modifiquemos el experimento. En lugar de enviar un haz de electrones contra las ranuras disparemos los electrones uno por uno, por ejemplo, con intervalos de 10 segundos. Supongamos, además, que logramos construir un dispositivo que mantenga el punto luminoso de impacto encendido. Entonces, emito un electrón (click y centelleo en el detector), diez segundos después otro electrón (click y centelleo) y así sucesivamente. Esperamos pacientemente mirando los puntos de luz en los detectores y vemos aparecer lentamente... ¡otra grafica de interferencia! (confusión total...). ¡Esto es ridículo!, me dice usted, ¿con que pueden interferir los electrones?, pasan uno por uno por las ranuras y, por supuesto, un electrón solo pasa por una de las ranuras, nunca por ambas al mismo tiempo. Paciencia, cambiemos nuevamente el experimento, esta vez trataremos de ver por cual de las ranuras pasa cada electrón. Podríamos hacerlo colocando sobre las ranuras detectores ultrasofisticados pero, como este es un experimento mental, hagamos algo mas simple. Colocaremos en una de las ranuras una diminuta campana que al ser golpeada por un electrón emita el sonido tin. Y en la otra ranura una campana que suene tan. Nuevamente lanzamos electrones uno por uno. Escucharemos algo como: tin, click (centelleo)... tin, click (centelleo)... tan, click (centelleo)... tin, click (centelleo)...etc. Ahora sabemos exactamente por donde pasa cada electrón (y por supuesto, que cada electrón pasa por una sola ranura). Esperamos, nuevamente ansiosos la figura que lentamente se forma ante nuestros ojos... y la imagen que veremos aparecer sobre la pantalla será... una sola barra luminosa... es decir la suma de gaussianas que producirían partículas (confusión total, total...). ¿Está satisfecho?. Vamos a hacer un pequeño resumen. Si disparo electrones sobre las ranuras inocentemente, es decir, sin tratar de detectar que cosa son, los electrones se comportan alegremente como ondas, dicho de otro modo, interfieren como si pasaran por ambas ranuras al mismo tiempo. Si, en cambio, trato de detectar por cual de las ranuras pasa cada electrón, o sea, trato de forzar su condición de partículas, los muy canallas ni siquiera intentan pasar por ambas ranuras, simplemente se comportan como partículas. ¿Le quedó claro?. Pues a mi no. Es como si los electrones se negaran a revelar que son en realidad. Y, por supuesto, esto pasa también con cualquier otra partícula subatómica con la que trabajemos. De todos modos, es importante aclarar nuevamente que estos experimentos son imaginarios. Si bien es posible hacer en la practica los tres primeros, teniendo la precaución, en el caso de la luz, de que las rendijas sean bastante angostas, no es posible realizar el experimento con electrones del modo en que fue descrito. De hecho, hasta 1927 no hubo pruebas de este comportamiento extraño del electrón. | ||
De Broglie y sus ondas piloto No, no me volví loco, el título de esta sección no se refiere a ningún grupo de rock, ocurre que continuamos con la historia. En el año 1924, Louis De Broglie se encontraba completando su tesis de doctorado en física en la Sorbona. En ella expuso una idea muy simple: en física clásica se considera a la luz como un fenómeno de naturaleza ondulatoria (Young). Por otro lado las investigaciones de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico habían demostrado que bajo ciertas circunstancias la luz parece constituida por partículas (fotones). ¿No sería posible que aquellas entidades consideradas partículas (electrones, ladrillos, planetas, etc.) bajo ciertas condiciones mostraran características de ondas?. Parece ser que la luz se comporta como onda al propagarse por el espacio mientras que lo hace como un conjunto de partículas al interactuar con la materia. Ambas naturalezas nunca se mezclan, se podría decir que la luz es una onda que al interactuar con la materia parece partícula, o bien, que está constituida por partículas cuyo movimiento está determinado por las propiedades de ciertas ondas asociadas. No hay ninguna razón para elegir una de las dos posibilidades. | ||
| De Broglie, sin embargo, supuso cierta la segunda posibilidad y analizó la idea de que el movimiento de las partículas era gobernado por la propagación de ciertas ondas piloto (el nombre con que las bautizó) asociadas. El primer paso de De Broglie fue establecer la longitud de onda (l, léase "lambda") de estas ondas piloto. Utilizando la misma regla de cuantización que Einstein y un poco de su teoría de relatividad concluyó que la longitud de onda debía ser: l = h / p, siendo h la constante de Planck y p el impulso lineal de la partícula (p = m v) mientras que la frecuencia resultaría: n = E / h, con E la energía relativista total. Estudiemos un poco estas ecuaciones. Por ejemplo, imagine una partícula de polvo con una masa de unos 10-11 gramos, que se mueve a una velocidad de 1 cm/seg. | 
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| El impulso lineal de esta partícula será p = 1 cm/seg.10-11 g = 10-11 g.cm/seg. Reemplazando estos datos en la ecuación correspondiente resulta una longitud de onda: ¡ l = 6 x 10-16 cm ! (por si no se siente cómodo con la notación científica, el numero es 0.0000000000000006 cm, o sea bastante chiquita). Esta longitud es mucho mas pequeña que el diámetro estimado de un átomo (10-8 cm = 0.00000001 cm), por lo que la onda piloto de una partícula de polvo sería completamente indetectable (ni hablar del caso de un planeta, que posee un impulso muchísimo mayor...). Pero para un electrón el asunto es mas razonable. Se puede calcular que para uno de energía relativamente baja la longitud de onda debe ser l = 4 x 10-8 cm, que es sumamente pequeña pero del tamaño de un átomo o... de la distancia entre átomos en un cristal... ¿Por que se utilizan en el experimento de Young solo dos rendijas?, ¿por que no mas?. En realidad es perfectamente posible realizar el mismo experimento con un numero cualquiera de rendijas. De hecho cuando el número de rendijas es muy grande el dispositivo se llama red de difracción. Difracción es simplemente el nombre que se da a la interferencia cuando se produce entre muchas fuentes. La difracción, cuando se realiza con luz, da como resultado la formación de patrones característicos algo mas complicados que los generados por la simple interferencia. Se preguntará a que viene este comentario, tenga un poco de paciencia. Un cristal cualquiera es un agrupamiento de átomos que se encuentran ordenados sobre una red con estructura periódica y geométrica bien definida (cúbica, hexagonal, etc.), de manera que, considerando la longitud de las ondas piloto de los electrones, surgió la idea de utilizar cristales como redes de difracción para haces de estas partículas. En 1927, Davidson y Germer diseñaron un experimento de difracción bombardeando un cristal de níquel con electrones de baja energía. Obtuvieron un clásico patrón de difracción solo explicable por la interferencia de ondas dispersadas en la superficie del cristal. Y, por supuesto, no se trataba de la interferencia entre ondas de electrones distintos sino de la interferencia producida por las ondas asociadas a un solo electrón. Esto se probó al enviar los electrones de a uno y obtener el mismo patrón. Este experimento demostró que el postulado de De Broglie era correcto. Uno de los grandes logros de la teoría de De Broglie fue el explicar de un modo simple las extrañas reglas de cuantización del átomo de Bohr. Hablemos un poco de ondas. Las ondas pueden ser divididas en viajeras y estacionarias. Una onda viajera es la que podríamos observar al arrojar una piedra a una lago, una perturbación que se va expandiendo en la superficie del agua. Una onda estacionaria es la que veríamos en una cuerda de guitarra. | ||
| En este caso es evidente que ambos extremos de la cuerda están fijos, de manera que la onda no puede vibrar en esos puntos (figura 5). Los extremos de la cuerda tienen que ser, forzosamente, nodos de la onda (puntos fijos). Esto significa que la cuerda no podrá vibrar con ondas de cualquier longitud, solo podrá hacerlo en longitudes cuyos nodos coincidan con los extremos. Es fácil ver que esto ocurrirá solo si la cuerda contiene un numero entero o semientero de longitudes de onda (0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, etc.). ¿No encuentra esta regla parecida a las reglas de cuantización de Bohr?. | 
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| Un electrón confinado dentro de un átomo debe manifestar, sin lugar a dudas, su carácter ondulatorio ya que el tamaño del átomo es del mismo orden que la longitud de onda del electrón. Digamos que un electrón se sitúa en algún lugar alrededor del núcleo. Sus ondas piloto comenzarán a moverse en torno a este, pero luego de varias vueltas puede ocurrir que un monte de la onda alcance a un valle con lo cual se produciría interferencia destructiva y el electrón no podría permanecer allí. El único modo en que esta interferencia no se producirá es que las ondas sean estacionarias. Para que esto ocurra es necesario que la longitud de la órbita contenga un numero entero de longitudes de onda (¡casi igual a la cuerda!). | ||
| Debe ser entero por que la órbita es cerrada, lo que sería equivalente a hacer coincidir los extremos de la cuerda (figura 6). Ahora bien, si hacemos memoria y recordamos algo de geometría básica, la longitud de una circunferencia es: L = 2p r (donde r es el radio de la órbita) y debe ser igual a n l (donde n es un numero natural cualquiera). Es decir: 2p r = n l, pero la longitud de onda debe cumplir con la ecuación de De Broglie (l = h / p). Si cambiamos l por este valor obtenemos: 2p r = n h / p, siendo p = m v. Al pasar multiplicando p del otro lado de esta ecuación tendremos: m v r = n h / 2p. Pero, "m v r" era el impulso angular L, por lo que resulta: L= n h / 2p, ¡que es la hipótesis de cuantización de Bohr!. Sé que me estoy excediendo con las formulas, pido disculpas, pero ¿no es esto maravilloso?. De Broglie logró reducir el problema de las reglas de cuantización a simples oscilaciones en una cuerda tensa. Si esto no es simplificar, entonces... | |
| Otro logro de De Broglie fue que a partir de sus ideas ondulatorias hizo posible explicar también por qué los electrones no emiten radiación al orbitar un átomo (relájese, no incluiré las cuentas). Por otra parte, en la figura 6 podemos notar lo lejos que se encuentra la teoría de De Broglie del modelo de Bohr. En este modelo un electrón era una partícula orbitando alrededor de un núcleo, perfectamente localizable en el punto de la órbita donde se encontrara y poseyendo una velocidad definida (las variables dinámicas clásicas). La imagen de De Broglie no nos permite determinar DONDE está el electrón en su órbita o con que velocidad se mueve. Pero, ¿que es una onda piloto?, ¿que es lo que vibra?. En realidad, nada. La interpretación que se hace de esta oscilación es la de una onda de probabilidad. Las ondas piloto nos dan la probabilidad de que el electrón (por ejemplo) se encuentre en un punto dado con una cierta velocidad. ¿Que le ocurre a un electrón libre?. Si la partícula no está sometida a ninguna fuerza y vaga libremente por el espacio podríamos esperar que su comportamiento fuera, simplemente, el esperable en una partícula clásica. De modo que sus ondas piloto deben reflejar esto. Podemos esperar que las ondas piloto de un electrón libre formen un grupo(figura 7). | ||
| Como vimos, la onda piloto de un electrón en el átomo posee una definida longitud de onda, por el contrario, un grupo de ondas se forma sumando infinitas ondas de longitudes (y por lo tanto frecuencias) diferentes. En casi todo el espacio las ondas sumadas interfieren destructivamente, solo hay interferencia constructiva en una zona pequeña. Esta sería la localización mas probable del electrón. Note que aún así el electrón no está perfectamente localizado pero si bastante mejor que dentro de un átomo. Estos razonamientos sobre ondas nos llevan a uno de los temas mas importantes de la mecánica cuántica. | 
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| Vamos a hacer un pequeño resumen: si una onda cualquiera tiene longitud (o frecuencia) bien definidas, esa onda se extenderá por todo el espacio. Si, en cambio, la onda es la suma de muchas ondas de distinta longitud (o frecuencia), de modo que no sea posible definirle una longitud única, su localización en el espacio estará mucho mejor definida. La frecuencia de la onda está asociada a la velocidad de la partícula (también a la energía, impulso...), de manera que lo que estamos diciendo es algo así como: si usted conoce la velocidad de la partícula con bastante precisión seguro perderá información sobre la posición; si, en cambio, conoce bastante bien la posición de la partícula, entonces renuncie a conocer la velocidad. | ||
| Este es, mas o menos, el principio de incertidumbre enunciado por Heisenberg en 1927 y deducido a partir de razonamientos con ondas como el anterior. Estrictamente, este principio debería enunciarse del siguiente modo: si llamamos Dx a la incertidumbre en nuestro conocimiento de la ubicación instantánea de la partícula y Dp a la incertidumbre en el valor instantáneo del impulso lineal (recordemos que p = m v) la relación entre estas incertidumbres será Dx Dp > h / 2p. Este principio impone un límite fundamental a la precisión con que es posible conocer simultáneamentela posición e impulso de una partícula. Puede medirse con toda la exactitud que uno desee una de las variables sólo si se aumenta la imprecisión en la medida de la otra. Existen relaciones similares para cada una de las variables físicas de la partícula. | 
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| Es conveniente aclarar que el principio de incertidumbre no tiene que ver con las posibilidades tecnológicas de los instrumentos de medición sino con la naturaleza física de los objetos que estamos midiendo. Lo que quiero decir es que si hoy es imposible medir con igual precisión dos variables, dentro de cien, mil o diez mil años también lo será, no importando los adelantos tecnológicos o científicos que puedan sobrevenir. Lo que nos dice es que cualquiera sea el medio de medición que empleemos para determinar, por ejemplo, la posición de una partícula, la medición misma perturbará al sistema de tal modo que cambiará su velocidad de modo impredecible. El principio de incertidumbre nos permite explicar físicamente el problema del experimento de Young con electrones del que hablamos antes. ¿Recuerda que cuando se deseaba determinar por cual de las dos rendijas pasaba un electrón en lugar de obtener un patrón de interferencia obteníamos una gaussiana propia de una partícula?. Tratemos de explicar esto. Si quiero determinar, por cualquier medio que sea, por cual de las dos rendijas pasa el electrón estaré efectuando, necesariamente, una medición de la posición que tendrá una precisión, por lo menos, del tamaño de una rendija. La perturbación que producimos entonces, en el impulso, puede calcularse y resulta ser suficiente para destruir el patrón de interferencia. | ||
Schrödinger y la moderna mecánica cuántica Los avances que produjeron las ideas de De Broglie fueron realmente enormes, pero existía un defecto obvio. En la mecánica de Newton, donde todas las variables cinemáticas pueden conocerse con precisión arbitraria, existen las llamadas ecuaciones de movimiento que nos permiten determinar la posición, velocidad, etc. de la partícula en cualquier instante de tiempo. Vimos que en mecánica cuántica no era posible determinar los valores de estas variables con tanta precisión, así que sería absurdo pretender ecuaciones deterministas de movimiento. Sin embargo era posible una aproximación probabilística dada por las ondas piloto. La pregunta que se impone es: ¿como encuentro la forma de las ondas piloto en un caso cualquiera?. De Broglie no lo dice. Tampoco aclara como se propagan. La ecuación para las ondas piloto fue propuesta por Schrödinger en 1925. | ||
| Schrödinger siguió, con algunas excepciones, las ideas de De Broglie. Cambió el término "ondas piloto" por el de función de onda para designar tanto a las ondas mismas como a la función matemática que las representa (la función Y, léase "psi"). Pero lo mas importante es que su teoría fue desarrollada para partículas que viajaran a velocidades no relativistas aún cuando la de De Broglie era compatible con la relatividad. Bien, no voy a incluir la deducción de la ecuación de Schrödinger en este artículo, pero créanme, es muy interesante. Este descubrimiento fue un avance realmente inmenso para la ciencia, pues brindó un arma analítica muy poderosa para atacar el problema dinámico de las partículas a nivel cuántico en cualquier situación arbitraria. La llegada de la ecuación de Schrödinger dio comienzo a la moderna teoría cuántica. | |
| Hablemos un poco de esta función. La función de onda es, en general, una función matemática que depende de las variables espaciales y el tiempo, es decir que Y = Y(x, y, z, t) y es, en muchos casos, una función compleja. La palabra compleja no significa complicada (aunque pueda serlo) sino que es una función cuyos resultados pueden ser números complejos. Esto podría considerarse un problema, ya que los números complejos no tienen sentido físico, sin embargo es algo bueno porque hace que no tenga sentido preguntarse: ¿qué cosa está oscilando?. La función de onda no implica una oscilación de nada físico, sino la propagación de probabilidad. Fue Max Born, en 1926, quien propuso esta asociación en la forma de un postulado. Lo que dice el postulado de Born es que, si bien no puedo saber con exactitud donde está la partícula antes de medir, conociendo su función de onda puedo asignar una probabilidad a cada punto del espacio dada por el cuadrado de la función de onda (este será un valor real, no complejo, las probabilidades deben ser números reales). Habrá zonas del espacio donde la probabilidad sea muy alta y otras donde sea totalmente despreciable. Por ejemplo, en el caso de un electrón en el átomo la mas alta probabilidad se encuentra en la zona que rodea a las orbitas de Bohr (era de esperarse), esto no significa que el electrón se encuentre orbitando alrededor del núcleo, no sabemos que está haciendo el electrón, la función de onda no responde esa pregunta. quizás usted esté pensando: ¡Maravilloso!, ¡tantos años y premios nobeles para obtener una teoría que no me dice absolutamente nada!, ¡no sabemos donde están las partículas, que velocidad poseen, que hacen!, ¡no sabemos nada!. Esto no es del todo cierto. Es verdad que la mecánica cuántica ha abandonado el concepto de trayectoria tan caro a la mecánica clásica. Las partículas ya no son localizables. Pero este cambio de filosofía no es una capitulación conformista (como es difícil de calcular mejor quedémonos con menos). El descubrimiento al que se llegó es: no existe trayectoria. No tiene sentido físico la frase:esta partícula se encuentra aquí en este momento y con esta velocidad. Una partícula puede encontrarse en diferentes estados cuánticos. Así como el electrón, en el átomo de Bohr, podía estar en diferentes órbitas caracterizadas por un numero natural n, cada estado cuántico estará caracterizado por un conjunto de números cuánticos que serán tantos como grados de libertad tenga la partícula (una partícula en el espacio, por ejemplo, tiene tres grados de libertad, uno por cada posible dirección de movimiento). Además, cada uno de estos estados cuánticos tendrá una función de onda característica. En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, serían necesarios tres números cuánticos: el numero cuántico principal (n) que asigna los niveles de energía, el numero cuántico azimutal (l) que asigna los posibles valores de impulso angular y el numero cuántico magnético (m) que determina los posibles valores de momento magnético de la partícula. Si, lo sé, una pregunta ha surgido en su mente. ¿Que diablos es el momento magnético? y ¿para que lo menciona? (bueno, esas son dos preguntas). No se preocupe, lo explicaré porque la respuesta tiene importancia. ¿Usted sabe como se genera la electricidad?. Es sencillo, se toma un imán y se lo hace dar vueltas alrededor de un cable, inmediatamente aparecerá una corriente eléctrica circulando por el cable. Esta es una de las tantas consecuencias de las ecuaciones de Maxwell: en presencia de campos magnéticos variables se generan corrientes eléctricas. Pero también es cierta la situación contraria, una corriente eléctrica genera un campo magnético a su alrededor (principio del electroimán). La corriente es simplemente un conjunto de cargas en movimiento. Digamos, para hacer las cosas mas sencillas, que un electrón gira alrededor del núcleo. Este electrón posee carga eléctrica, y se está moviendo. Entonces existe una corriente eléctrica alrededor del núcleo, y esta corriente eléctrica generará un campo magnético. Así como el impulso lineal caracteriza a algo que está en orbita, el momento magnético es una cantidad que caracteriza el campo magnético generado y permite diferenciar las distintas orientaciones de la órbita. ¿Para que esta explicación?. Lo que pasa es que las cosas no estaban del todo bien... ¡Dios mío!, entonces... ¿falta?.... Temo que si, pero sólo un poco... | ||
¿Tienen los electrones día y noche? Entre 1922 y 1927 se realizaron muchos experimentos para verificar la validez de las hipótesis cuánticas. Philips y Taylor (también Stern y Gerlach) hicieron pasar un haz de átomos de hidrógeno por un campo magnético. El resultado de este experimento, según la teoría, era que no debía aparecer ninguna desviación en el haz ya que los electrones se encontrarían en su estado base (con momento magnético igual a cero), sin embargo el haz se separó en dos componentes desviadas simétricamente. Por otro lado, ya hablamos sobre las líneas que forman el espectro de un gas y mencionamos que la teoría de Bohr había logrado explicarlas con éxito. Desgraciadamente, experimentos mas precisos mostraron que estas líneas estaban formadas por otras líneas mas angostas y cercanas entre sí, a esto se le llamó estructura fina del espectro. Ninguno de estos fenómenos era predicho por la nueva teoría cuántica. ¿Estaba todo mal?. Por suerte no, ocurre que la nueva teoría estaba incompleta. Todos estos resultados experimentales podían ser explicados si se consideraba que el electrón poseía además del impulso angular orbital, otra variable llamada impulso angular intrínseco o spin. ¿Que es el spin?. Veamos, usted seguramente sabe que el planeta Tierra gira alrededor del Sol en una órbita casi circular, a este movimiento se lo llama traslación, por lo tanto, posee un impulso angular orbital. también sabe que la Tierra rota sobre si misma, esta rotación es la que produce el día y la noche. Bien, es esta rotación sobre sí misma la que genera el spin, dicho de otro modo, la Tierra tiene un spin como el electrón (o mejor dicho el electrón parecía tener un spin, como la Tierra). Si se agregaba a la función de onda de Schrödinger un término que reflejara este impulso angular, la teoría cerraba perfectamente con el experimento porque el momento magnético del spin permitía explicar sin problemas los diversos fenómenos. Había, claro, dos inconvenientes. No era muy agradable el tener que agregar algo a la teoría de este modo, se supone que esta clase de resultados deben provenir de la teoría misma. Además, un electrón no tiene tamaño, literalmente es un objeto puntual, y un objeto puntual no puede rotar sobre sí mismo. Así que, o los físicos se quedaban muy contentos con lo que habian logrado, o trataban de explicar el spin de alguna otra manera. Por supuesto, lo explicaron. Mencionamos al pasar que Schrödinger no había considerado en su desarrollo la teoría de relatividad, en el año 1928 un físico ingles llamado Paul Adrien Maurice Dirac(P.A.M. para los amigos) desarrolló una teoría relativista de la mecánica cuántica. Simplemente conservó los postulados de Schrödinger exigiendo además que se cumplieran los requisitos de la relatividad de Einstein. De esta teoría el spin surgía como una consecuencia natural, no se requería ninguna hipótesis adicional. Pero, entonces, ¿los electrones rotan sobre sí mismos?. Si...y no. Según la teoría de relatividad el universo que conocemos como tridimensional, tiene, en realidad, cuatro dimensiones. La cuarta dimensión es el tiempo. Las dimensiones espaciales (altura, largo y ancho) se pueden representar con un sistema de tres ejes (líneas rectas) perpendiculares entre sí, dos ejes cualesquiera se cortan formando un ángulo de 90°. Es imposible, en nuestro espacio, agregar un eje más que sea perpendicular a todos los anteriores. | ||
| Sin embargo, en un espacio de cuatro dimensiones, esto sí es posible. Según la teoría de relatividad el cuarto eje es el del tiempo. Un objeto que rota sobre sí mismo debe hacerlo necesariamente alrededor de algún eje. La Tierra, por ejemplo, rota alrededor del que pasa por sus polos. Dirac encontró que los electrones sí rotaban, pero lo hacían alrededor del eje del tiempo. ¿Que significa esto?. créanme, no tengo la menor idea... Hoy sabemos que todas las partículas tienen un spin y que esta variable puede tomar solo valores enteros o semienteros. El spin de un fotón, por ejemplo, es 0 y el del electrón vale 1/2. Debido a este descubrimiento y otros, Dirac recibió el premio Nobel junto con Schrödinger en 1933. | 
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| Dirac descubrió muchas cosas. Fue quien predijo (¡predijo!, años antes de que fuera detectado) la existencia del positrón, que es la antipartícula del electrón y sentó las bases de la llamada teoría cuántica de campos o teoría cuántica relativista. Lo reconozco, Dirac fue el ídolo de mis gloriosos días de estudiante, porque representaba el paradigma del joven físico que tuvo que luchar contra todos los grandes y reconocidos viejos para imponer sus ideas revolucionarias. Si alguna vez tiene oportunidad de leer su historia se lo recomiendo. Con estos aportes de Dirac se cierra lo que podríamos llamar la historia de la creación de la teoría cuántica. Por supuesto que hubo muchísimos descubrimientos posteriores, pero la esencia de la teoría, las ecuaciones de Schrödinger y Dirac (para los casos no relativista y relativista, respectivamente) se utilizan hasta hoy y sus consecuencias han sido verificadas experimentalmente en innumerables ocasiones. Aún así las cosas no están del todo cerradas. Las dos grandes teorías del siglo XX, la mecánica cuántica y la relatividad no son totalmente compatibles y la investigación para hallar una teoría que explique todo prosigue. Sigue en discusión cual es la interpretación correcta de las conclusiones cuánticas. Uno de los problemas es el significado de medición, básico en esta disciplina. Medir implica hacer interactuar un instrumento macroscópico, es decir, "no cuántico" con un sistema cuántico y aún no se sabe como calcularle una función de onda al instrumento. Existen diversas interpretaciones de la filosofía cuántica, la mas popular es la de Copenhague que es bastante solipsista6, en ella se asume que sólo podemos hacer afirmaciones sobre aquellas cosas que medimos y que cuando efectuamos una medición creamos (literalmente) aquello que estamos midiendo, por ejemplo, creamos el spin de una partícula cuando medimos a la partícula con el objeto de detectarlo. Pero ahora comenzaremos a hablar de las consecuencias de la mecánica cuántica, un tema mas entretenido. | ||
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| Al principio de este artículo hablamos de la cuántica como de una ciencia alejada del sentido común que manejamos diariamente. Algo de eso vimos cuando los distintos descubrimientos llevaron a la conclusión de que las partículas que conocíamos no eran precisamente partículas sino entes extraños, difíciles de localizar, literalmente fantasmales. Para esta característica se acuñó el nombre de "dualidad partícula-onda". Pero, ¿que consecuencias surgen de esta naturaleza extraña?. |
La paradoja EPR y la comunicación instantánea Supongamos que una partícula, por algún motivo, se divide en dos. Este es un hecho bastante frecuente, hasta es posible que esta división de lugar a la creación de partículas de naturaleza diferente a la de la partícula madre. Por ejemplo, si un fotón posee la suficiente energía puede convertirse en un par electrón-positrón (a la inversa, el encuentro entre un electrón y un positrón produce la creación de un fotón, esto es lo que llaman aniquilación materia-antimateria en las películas). Digamos entonces que nuestra partícula es un fotón que viajaba alegremente por el espacio con una determinada función de onda y, ¡pum!, ¡desastre!, el feliz fotón desaparece y aparecen en su lugar y viajando en direcciones opuestas dos partículas. Esta clase de divisiones deben respetar ciertos principios de conservación, por ejemplo, la energía inicial del fotón debe ser, como mínimo, la suma de las energías (masas) de las partículas resultantes. Además, mencionamos que el fotón posee spin 0 y el electrón spin 1/2, para que la cosa tenga sentido, entonces, el nuevo positrón deberá tener spin -1/2 (claro, 1/2 + (-1/2) = 0). Existen algunas otras leyes de conservación más que no vienen al caso. Pero la cuestión importante es que cuando el fotón se divide las funciones de onda de las partículas que aparecen quedan, de algún modo, vinculadas. No importa que el electrón y el positrón viajen en direcciones opuestas y se alejen millones de años luz, sus funciones de onda están relacionadas y eso significa que cualquier cosa que le ocurra al electrón afectará de algún modo (e instantáneamente) al positrón. Encontré un ejemplo, no real, pero bastante ilustrativo en uno de los links: supongamos que tenemos un partícula blanca y que esta partícula se divide en dos, una magenta y la otra verde (verde + magenta = blanco). Ambas partículas viajan alejándose entre sí durante muchos años. Cierto día alguien encuentra la partícula verde y decide "medir" su color. ¿Como mide el color?, sencillamente ilumina a la partícula con luz blanca y la observa. Llega a la conclusión de que es verde. Si además supiera que provenía de la división de una partícula blanca podría fácilmente concluir que debe existir otra partícula, en algún lugar, que es de color magenta. Hasta aquí ningún problema. Ahora bien, supongamos que este buen señor no dispone de una lámpara de luz blanca, por alguna extraña razón sólo posee una lámpara de luz roja. Al iluminar la partícula verde con luz roja, ¡ésta se ve amarilla! (verde + rojo = amarillo). Lo que predice la mecánica cuántica es que la otra partícula, donde quiera que esté e instantáneamente, se volverá azul (amarillo + azul = blanco). ¿Entiende lo que significa esto?. En primer lugar esto viola aparentemente la teoría de relatividad que afirma que la velocidad máxima a la que puede transmitirse cualquier información es la velocidad de la luz. ¿Como puede saber la segunda partícula que la primera ha sido medida a quizás, millones de años luz de distancia?. Esta es una de las incompatibilidades que mencionamos entre la cuántica y la relatividad y recibió el nombre de paradoja EPR por Einstein-Podolsky-Rosen, quienes la plantearon por primera vez. Existen ciertas teorías en física que cuestionan el llamado principio de separabilidad de hechos físicos, estas teorías pueden sonar un poco esotéricas. Lo que dicen es que, de algún modo, todos los puntos del universo están conectados entre sí. Cualquier cosa que hagamos puede afectar algún punto a millones de años luz. ¿Verdad que suena mágico?. Pero a la luz de la mecánica cuántica, ¿es realmente tan absurdo?. ¿Será éste el modo de crear un ansible?. El ansible es el "comunicador instantáneo" que aparece en tantos relatos de ciencia ficción. Digamos que dividimos una partícula (o un montón de ellas) en dos. Encontramos el modo de mantener a una de las partes confinada en un cierto recinto, digamos aquí, en la Tierra y la otra mitad la transportamos, sin alterarla de ningún modo al lugar que queramos (una nave espacial en viaje a las estrellas, otro planeta, lo que sea). En principio, cualquier cosa que hagamos a la parte quedó en tierra, producirá modificaciones instantáneas a la parte que se encuentra lejos. ¿Podríamos, mediante estas alteraciones, transmitir palabras e imágenes?. Leí un paper hace unos días donde se afirmaba que esto es imposible. No soy quien para disentir con un experto, pero... soñar no cuesta nada. ¿Lo imaginan?, podríamos mandar al diablo lasfrecuencias subespaciales y todas esas cosas exóticas. |
El efecto túnel Cuando era chico pasaba mucho tiempo arrojando una pelota contra la pared de mi casa y recibiendo el rebote. No sé porque lo hacía (no se me ocurre actividad mas aburrida, bueno, quizás haya una o dos...), supongo que el movimiento mecánico liberaba mi mente para pensar y soñar. Pero me fui de tema, seguramente usted también ha disfrutado jugando alguna vez frontón. También es posible que, dependiendo de lo alta que fuera la pared, en alguna oportunidad haya tenido que ir a buscar la pelota del otro lado (pidiendo al mismo tiempo disculpas a una señora que por alguna extraña razón se frotaba un ojo insistentemente mientras dirigía hacia usted una mirada de odio con el otro ojo). Pero, pregunto, ¿por que la pelota pasó del otro lado?. Fácil, me dice usted, porque por error le pegué demasiado fuerte y hacia arriba. Entiendo... ¿entonces no hay ningún otro modo en que la pelota puede pasar del otro lado?. Por supuesto que no, me contesta, ¡como si mi pelota pudiera atravesar la pared!. Ups, ha dado en el clavo. No se preocupe, siga jugando con confianza que su pelota no puede atravesar la pared, en realidad debería decir que la probabilidad de que atraviese la pared es muy pequeña. Analicemos lo que usted dijo. Afirmó que la pelota pasó del otro lado porque le había proporcionado la suficiente energía para hacerlo y que, sin esta energía extra no podría haber ocurrido... Un electrón viaja hacia una pared con poca energía y choca con ella, su función de onda se divide en dos, una parte (la mayor) corresponde al rebote del electrón con la pared y su redirección hacia atrás. La otra parte atraviesa la pared. Existe algo de la función del onda del otro lado de la pared, entonces, debe existir también probabilidad de que el electrón pase del otro lado. No interprete mal esto, no se trata de que el electrón, por ser muy chiquito, se pueda colar entre los átomos de la pared y la pelota, por ser muy grande, no pueda hacerlo. Porque en el caso del electrón no hablamos de una pared real, sino de una barrera de potencial. A ver si nos entendemos, una barrera de potencial es una zona del espacio donde existe alguna fuerza que impide a los objetos salir de dicha zona. Dicho de otro modo, una pared de ladrillos es una barrera de potencial, pero una barrera de potencial no es necesariamente una pared de ladrillos. Nosotros vivimos encerrados por una barrera de potencial generada por el campo de gravedad de la Tierra. Si saltamos, volvemos a caer (rebotamos con la barrera), es necesaria una gran energía para atravesar la barrera (la que tendría un cohete por ejemplo). Resulta que es posible que una partícula subatómica atraviese una barrera de potencial aún cuando no tenga la energía necesaria para hacerlo. Esto se ha observado muchas veces. Se han detectado, por ejemplo, partículas de baja energía que escapaban de núcleos atómicos desde donde debería haber sido imposible que salieran. En el caso de la pelota la longitud de onda es tan pequeña (recuerde la partícula de polvo) que este efecto cuántico es de una probabilidad infinitamente baja, por eso no vemos pelotas atravesando paredes. ¿Que pasa con una partícula mientras está atravesando la barrera?. Literalmente, no debería tener existencia física. El efecto túnel se puede explicar por utilizando el principio de incertidumbre. |
| Debido a que la energía de la partícula tampoco puede ser fijada con absoluta exactitud, es posible que durante tiempos cortos no se cumplan las leyes de conservación. Es decir, la energía puede fluctuar tanto como para "saltar" la barrera. Un caso muy interesante de este efecto lo utilizaStephen Hawking para justificar su teoría de emisión de partículas desde agujeros negros. Según Hawking, la energía del intenso campo de gravedad que rodea a uno de estos objetos puede sufrir fluctuaciones debido al principio de incertidumbre y alguna de estas fluctuaciones puede ser de suficiente magnitud para generar un par partícula-antipartícula; la partícula (un electrón, por ejemplo) escaparía del agujero negro (por verdadero efecto túnel) mientras que la otra caería dentro. | 
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| Otro caso mas cercano a la vida diaria es el brillo de las estrellas. Para que una estrella brille tiene que producirse una reacción nuclear llamada fusión. Esta es mas o menos complicada pero, en términos simples, se trata de que dos protones estén lo suficientemente juntos para formar un núcleo de helio. Los protones están cargados positivamente y las partículas de igual carga se repelen, entonces existe una barrera de potencial entre los dos. Cálculos clásicos afirman que es prácticamente imposible que dos protones estén lo suficientemente juntos para que esto ocurra, es decir, las estrellas no deberían existir. Sin embargo, existen. Los protones atraviesan la barrera, nuevamente, por efecto túnel. El efecto túnel dista mucho, hoy en día, de ser un tema de ciencia ficción. Hoy existe el microscopio de efecto túnel con el que se logran imágenes espectaculares de superficies con detalles a nivel atómico. Este instrumento consiste en una aguja que se mueve sobre la superficie a escanear, los electrones de la aguja escapan de ésta por efecto túnel cuando la superficie y la aguja están lo suficientemente cerca, pudiendo observarse de este modo detalles de la superficie imposibles hasta ahora. | ||
Y los Heechees tenían razón... Seguramente usted ha oído hablar de cualidades de las partículas tales como la carga y la masa, por supuesto hay muchas otras cualidades (paridad, spin, carga bariónica, etc.) que podrían considerarse más abstractas que estas. ¿Pero alguna vez se ha preguntado que es la carga?. Si se lo pregunta a un físico probablemente le conteste algo así como: es la capacidad que tiene una partícula paga generar un campo electromagnético a su alrededor y a su vez ser influida por el campo generado por otra partícula, no se si quedó claro... no es una mala definición, pero note que ve la carga solo a través de sus consecuencias (existencia de un campo). Hasta nos permitiría suponer que en realidad lo que existe físicamente es el campo y que la idea de carga es solo una conveniencia de los físicos. Por otro lado, ¿qué es masa?. Aquí se nos presenta un problema, existen dos tipos de masa (o dos propiedades de la materia físicamente diferentes a las que llamamos masa). Una es la llamada masa gravitatoria que no es muy diferente del concepto de carga. Podríamos definir la masa gravitatoria como la capacidad que tiene una partícula para generar un campo de gravedad a su alrededor y verse a su vez influida por el campo de gravedad de otra. Pero también existe la llamada masa inercial. La masa inercial es conceptualmente más difícil de definir. ¿Recuerda usted las leyes de Newton?. En la física de la escuela secundaria nos enseñaron un par de ecuaciones. La primera (correspondiente a la segunda ley de Newton) decía: F = m.a, en palabras: fuerza es igual a masa por aceleración, y para definir peso nos dijeron que P = m.g, es decir: peso es igual a masa por aceleración de la gravedad, se parecen ¿verdad?. Pero, aunque se emplee la misma letra, la m de cada ecuación designa cosas diferentes. En el segundo caso se habla de la masa gravitatoria y se nos dice que la fuerza que sufre un cuerpo con masa gravitatoria dentro del campo de gravedad de otro cuerpo se llama peso y se puede calcular de ese modo. La primera dice algo bien distinto. Lo que dice es que la aplicación de una fuerza cualquiera sobre un cuerpo de masa inercial m provoca una aceleración que es inversamente proporcional a la masa. Es decir, para una fuerza dada, un cuerpo con menos masa se acelerará mas que un cuerpo de masa mayor. Teniendo esto en mente podríamos definir la masa inercial como la resistencia que opone un cuerpo a cambiar su estado de movimiento (la resistencia a moverse si está quieto, a frenar si está en movimiento, a cambiar de dirección, etc.). Bien, ¿pero por que existe esta resistencia?, ¿por que existe la masa inercial?. En la década del 60 un físico llamado Peter Higgs propuso una explicación. Supongamos que usted va caminando tranquilamente a su trabajo, ¿ha pensado que camina sumergido en un mar de aire?, como estamos acostumbrados a hacerlo no sentimos nada en particular (a menos que exista un fuerte viento en contra), sin embargo, suponga que caminara sumergido en una piscina llena de agua, en ese caso convengamos que sí sentiría una fuerte resistencia a su movimiento, le sería difícil caminar y ni hablar de correr. Bien, Higgs supuso la existencia de un campo (llamado campo de Higgs) que llenaría todo el Universo, la masa inercial se produciría por el "roce" (interacción) de las partículas con este campo. Una partícula que interactuara mucho tendría una masa mayor que una que interactuara poco, mientras que ciertas partículas, como el fotón, no interactuarían en absoluto por lo que no tendrían masa. Una idea interesante pero bastante difícil de demostrar si la única consecuencia que produce este hipotético campo es la masa inercial. Sin embargo, desde el punto de vista de la mecánica cuántica, un campo necesariamente debe estar asociado a una partícula (considerada como onda de perturbación del campo) y las características de esta partícula (masa aproximada, si tiene o no carga, spin, etc.) pueden ser conocidas, en teoría, conociendo las características del campo. Resulta que la partícula correspondiente al campo de Higgs, llamada bosón de Higgs, podría ser descubierta pronto ya que el CERN (Large electrón Positron Collider, acelerador de partículas de alta energía, en Europa) está realizando experimentos en el rango de energías correspondientes a las predichas para este bosón. Bien, ¿y que? - podría decirme usted - esto debe ser realmente fascinante para un físico, pero ¿qué tiene que ver con la vida real o con la ciencia ficción?. Lo que ocurre es que cuando leí este tema del bosón de Higgs una palabra surgió en mi mente: ¡Heechees!. Si usted no leyó la serie Pórtico de Frederick Phol pensará que estoy loco. Los Heechees eran la raza avanzada que abandona extrañas naves en el asteroide Pórtico. Estas naves podían moverse a enormes velocidades ya que ¡eliminaban la masa!. Cuando leí esto por primera vez pensé que era ridículo. Viajar a través de un agujero negro... bien, teletransportarse... ¿por que no?, pero ¿eliminar la masa?, ¿como?. Sin embargo la existencia del campo de Higgs cambia bastante las cosas. Y ahora comienzo a especular como loco. Nosotros podemos bloquear determinado tipo de campos. Por ejemplo, una jaula de Faraday (una caja con paredes de alambre) crea una zona sin campo eléctrico. No podemos bloquear totalmente un campo magnético, pero podemos disminuirlo en algunos lugares mediante el blindaje con materiales de alta permeabilidad (principio del reloj antimagnético). ¿Y si pudiesemos bloquear o disminuir el campo de Higgs en una zona del espacio?¿y si pudiesemos disminuir su valor alrededor de una nave espacial?. La nave no tendría masa inercial, es decir que considerando la ecuación de Newton, una fuerza cualquiera podría acelerarla a velocidades enormes. Los viajes espaciales serian sencillos y baratos. |
| (1) Esto es tambien lo que hacemos al mirar. La luz golpea contra los objetos, sufre modificaciones por esta interacción (en frecuencia, amplitud, etc.) y se refleja llegando a nuestros ojos. El cerebro interpreta estas modificaciones como color, intensidad, etc. La vista es, en realidad, una forma de scattering. (2) Las partículas alfa son núcleos de helio formados por dos protones y dos neutrones. Fueron descubiertas por el mismo Rutherford antes del experimento citado. (3) La frecuencia y la longitud de onda son dos variables ondulatorias interrelacionadas ya que l = v / n, donde l es la longitud de onda, n es la frecuencia y v es la velocidad de la onda. Por lo general es lo mismo expresar las cosas en función de la longitud de onda que en función de la frecuencia. Solo debe tenerse en cuenta que, por la relación inversa entre ellas, "altas frecuencias" equivale a "cortas longitudes de onda" y a la inversa "bajas frecuencias" equivale a "largas longitudes de onda". Si hablamos de ondas luminosas, frecuencia es equivalente a color. (4) Es bastante curioso que Einstein haya recibido el premio Nobel por algo tan "poco importante" como el efecto fotoeléctrico y no lo haya recibido por sus mucho mas celebres teorías de relatividad (especial y general). Una explicación que a veces se cita en ambitos científicos (no se que tan cierta sea) dice que fue así por que estas últimas eran mas matematicas que la, mucho mas experimental, explicación del efecto fotoeléctrico y no existe premio Nobel de matematica. Es mucho mas interesante el por que no existe este premio, cuentan los chismosos que la esposa de Nobel habia mantenido relaciones ilicitas con un matematico y el pobre Nobel decidió vengarse sobre todos los matematicos negando a estos el premio que lleva su nombre. (5) Kepler (6) El solipsismo es una doctrina filosófica que afirma que solo existo YO. Cuando estoy dentro de una habitación creo el entorno con el que estoy interactuando y a todo aquello que está en él, objetos y personas, el exterior no existe. Si salgo de la habitación, ésta dejará de existir automaticamento por que yo no estoy mirandola. Fuente: http://orbita.starmedia.com/cienciayficcion/cuantica.html Arellano A. Wilson I. |
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